3.5 Funciones Racionales

3.5 — Funciones Racionales

Donde el polinomio nunca prohibía nada, el cociente prohíbe exactamente donde el denominador se anula.

El §3.1 abrió el capítulo notando que sumar y multiplicar agota la construcción del polinomio. Falta la cuarta operación de \(\mathbb{R}\), la división, y aplicarla a dos polinomios produce una función racional: \(f(x)=p(x)/q(x)\), con \(p,q\) polinomios y \(q\) no el polinomio cero. A diferencia de \(p\) o \(q\) por separado, \(f\) hereda de la división la misma restricción que ya impuso \(1/x\) en el §2.2: hay puntos donde \(f\), sencillamente, no está definida.

§1. Definición y dominio

Definición. Una función racional es \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\), donde \(p\) y \(q\) son polinomios y \(q\) no es el polinomio cero. Su dominio es

\[\text{Dom}(f) = \{x\in\mathbb{R} : q(x)\neq0\}\]

Por el §3.2, \(q\) tiene a lo sumo un número finito de ceros reales —a lo sumo \(\deg(q)\)—, de modo que \(\text{Dom}(f)\) excluye, cuando mucho, finitos puntos de \(\mathbb{R}\): nunca un intervalo completo, a diferencia de lo que ocurriría si \(q\) pudiera anularse en un rango continuo. Esta observación, trivial en apariencia, es la que garantiza que valga la pena preguntar, como hace el resto de esta sección, qué ocurre cerca de cada uno de esos puntos excluidos: son puntos aislados, rodeados de valores donde \(f\) sí está definida.

Recordatorio. \(\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{x:q(x)=0\}\), y ese conjunto excluido es siempre finito —a lo sumo \(\deg(q)\) puntos, por el §3.2—.

§2. Cerca de un cero del denominador: huecos y asíntotas verticales

Un cero de \(q\) no siempre produce el mismo fenómeno. La diferencia depende de si ese mismo valor anula también a \(p\), y con qué multiplicidad —el concepto ya formalizado en el §3.1 y extendido en el §3.4—.

El §2.4 formalizó qué significa que una función crezca sin cota cerca de un punto excluido, pero no formalizó el caso en que, en cambio, se estabiliza en un valor finito cerca de ese punto —solo lo hizo para \(x\to+\infty\)—. Hace falta esa contraparte, ahora para un punto finito.

Definición. Sea \(f\) una función definida en un entorno de \(c\), salvo posiblemente en \(c\). Se dice que \(f(x)\) se aproxima a un real \(L\) cuando \(x\to c\) si

\[\forall\epsilon>0,\quad\exists\delta>0\quad\text{tal que}\quad 0<|x-c|<\delta\implies|f(x)-L|<\epsilon\]

Esta definición reutiliza, sin alterarla, la desigualdad de distancia \(|f(x)-L|<\epsilon\) ya fijada en el §2.4 §3; lo único que cambia es la hipótesis que la activa, \(0<|x-c|<\delta\) —un entorno de un punto finito, con ese punto explícitamente excluido— en lugar de \(x>N\).

Proposición. Sea \(c\) un cero de \(q\) de multiplicidad \(m\), y sea \(k\geq0\) la multiplicidad de \(c\) como raíz de \(p\) (\(k=0\) si \(p(c)\neq0\)). Entonces:

(a) si \(k\geq m\), \(f(x)\) se aproxima a un real \(L\) cuando \(x\to c\) —\(c\) es un hueco de \(f\)—;

(b) si \(k<m\), la recta \(x=c\) es asíntota vertical de \(f\).

Demostración. Por la factorización completa del §3.4, escríbase \(p(x)=(x-c)^kp_1(x)\) y \(q(x)=(x-c)^mq_1(x)\), con \(p_1(c)\neq0\) y \(q_1(c)\neq0\). Para \(x\neq c\),

\[f(x) = \frac{(x-c)^kp_1(x)}{(x-c)^mq_1(x)} = (x-c)^{k-m}\cdot\frac{p_1(x)}{q_1(x)}\]

Caso \(k\geq m\). El exponente \(k-m\geq0\), de modo que \((x-c)^{k-m}\) es un polinomio bien definido en \(c\), y \(p_1(x)/q_1(x)\) está definida en un entorno de \(c\) —ya que \(q_1(c)\neq0\)—. Sea \(L=0\) si \(k>m\), o \(L=p_1(c)/q_1(c)\) si \(k=m\); en ambos casos, la continuidad de las operaciones algebraicas sobre reales —suma, producto y cociente por algo no nulo, ya usada sin nombrarla en el §3.1 §3— garantiza que, dado \(\epsilon>0\), existe \(\delta>0\) tal que \(0<|x-c|<\delta\) fuerza \(|f(x)-L|<\epsilon\). La demostración explícita repite, coordenada a coordenada, el mismo tipo de acotación ya practicado en el §3.1 §2, y se omite por ser mecánica.

Caso \(k<m\). El exponente \(k-m<0\), de modo que \((x-c)^{k-m}=1/(x-c)^{m-k}\) con \(m-k\geq1\). Como \(p_1(c)/q_1(c)\neq0\) es un real fijo distinto de cero, \(f(x)\) se comporta, cerca de \(c\), como una constante no nula dividida por \((x-c)^{m-k}\) —exactamente la situación de \(1/x\) cerca de \(0\) ya resuelta en el §2.4 §2, salvo por una constante multiplicativa y, eventualmente, una potencia mayor que uno—: el mismo argumento de esa proposición, adaptado por esa constante, muestra que \(|f(x)|\) crece sin cota cuando \(x\to c\), y por lo tanto también \(f(x)\) o \(-f(x)\) lo hace en cada lado, según los signos de \(p_1(c)/q_1(c)\) y de \((x-c)^{m-k}\). La recta \(x=c\) es, por definición, asíntota vertical. \(\blacksquare\)

El caso \(k\geq m\) merece una precisión final: aunque \(f(x)\) se aproxima a \(L\), el punto \(c\) sigue estando excluido de \(\text{Dom}(f)\) —la definición de \(f\) como cociente lo excluye por construcción, sin importar que \(p_1/q_1\) sí estuviera definida ahí—. Ese es, precisamente, el fenómeno que el vocabulario informal llama hueco: un único punto faltante en una gráfica que, de otro modo, sería una curva continua.

Izquierda: \(k\geq m\), hueco. Derecha: \(k\lt m\), asíntota vertical.

Recordatorio. En un cero \(c\) de \(q\) con multiplicidad \(m\) y multiplicidad \(k\) en \(p\): si \(k\geq m\), hay un hueco (la función se aproxima a un valor finito, pero \(c\notin\text{Dom}(f)\)); si \(k<m\), hay asíntota vertical.

§3. Comportamiento en los extremos: la asíntota horizontal

La pregunta que interesa ahora es la misma que organizó el §3.1 §2 para los polinomios: qué ocurre cuando \(x\) mismo crece sin cota. Pero el resultado, para un cociente, es distinto en naturaleza: no siempre crece sin cota como lo hacía todo polinomio no constante.

Proposición. Sea \(f(x)=p(x)/q(x)\) con \(\deg(p)=n\) y \(\deg(q)=m\).

(a) Si \(n<m\), \(f(x)\) se aproxima a \(0\) cuando \(x\to+\infty\) —y también cuando \(x\to-\infty\)—.

(b) Si \(n=m\), \(f(x)\) se aproxima a \(a_n/b_m\) —el cociente de los coeficientes principales— cuando \(x\to\pm\infty\).

(c) Si \(n>m\), \(f\) no tiene asíntota horizontal: \(|f(x)|\) crece sin cota.

Demostración. Factorícense, como en el §3.1 §2, \(p(x)=a_nx^n(1+r_p(x))\) y \(q(x)=b_mx^m(1+r_q(x))\), donde \(r_p(x)\) y \(r_q(x)\) son sumas de términos que se acotan arbitrariamente cerca de \(0\) cuando \(|x|\to\infty\), exactamente como se probó en esa sección. Entonces, para \(x\) suficientemente grande en valor absoluto,

\[f(x) = \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}\cdot\frac{1+r_p(x)}{1+r_q(x)}\]

y el segundo factor se acerca a \(1\) cuando \(|x|\to\infty\), por el mismo argumento de acotación del §3.1 §2 aplicado a \(r_p\) y \(r_q\) por separado. Todo el comportamiento de \(f\) queda entonces gobernado por \(\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}\): si \(n<m\), el exponente es negativo y \(x^{n-m}\to0\), dando el caso (a); si \(n=m\), el exponente es \(0\) y el factor es constante \(1\), dando el caso (b) directamente; si \(n>m\), el exponente es positivo y \(x^{n-m}\) crece sin cota, por la misma proposición del §3.1 §2, dando el caso (c). En cada caso, traducir "el segundo factor se acerca a \(1\)" en la definición \(\epsilon\)-\(\delta\) o \(\epsilon\)-\(N\) correspondiente completa la demostración formal, con el mismo tipo de acotación ya practicado repetidamente. \(\blacksquare\)

Recordatorio. Comparar \(\deg(p)\) con \(\deg(q)\) decide todo: numerador de menor grado da asíntota horizontal \(y=0\); igual grado, da \(y=a_n/b_m\); numerador de mayor grado, no hay asíntota horizontal en absoluto.

§4. Asíntota oblicua

Queda un caso que la proposición del §3 declaró, sin desarrollar, "sin asíntota horizontal": \(n>m\). Dentro de ese caso hay uno particularmente ordenado, \(n=m+1\), donde \(f\) no se estabiliza en una recta horizontal, pero sí en una recta con pendiente.

Definición. La recta \(y=cx+d\) es asíntota oblicua de \(f\) si \(f(x)-(cx+d)\) se aproxima a \(0\) cuando \(x\to+\infty\) —en el sentido del §2 de esta sección, con \(L=0\)—.

Proposición. Si \(\deg(p)=\deg(q)+1\), \(f\) tiene una asíntota oblicua.

Demostración. Por el algoritmo de la división del §3.2, existen únicos \(c_1(x)\) y \(r(x)\) tales que \(p(x)=q(x)c_1(x)+r(x)\), con \(\deg(r)<\deg(q)\). Como \(\deg(p)=\deg(q)+1\), el cociente \(c_1(x)\) tiene grado exactamente \(1\): escríbase \(c_1(x)=cx+d\). Dividiendo la identidad por \(q(x)\),

\[f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = cx+d+\frac{r(x)}{q(x)}\]

de modo que \(f(x)-(cx+d)=r(x)/q(x)\). Como \(\deg(r)<\deg(q)\), el caso (a) de la proposición del §3 —aplicado a \(r/q\) en lugar de \(p/q\)— garantiza que \(r(x)/q(x)\) se aproxima a \(0\) cuando \(x\to+\infty\). Luego \(f(x)-(cx+d)\) se aproxima a \(0\), y \(y=cx+d\) es asíntota oblicua por definición. \(\blacksquare\)

La construcción es, en esencia, la misma división que ya organizó por completo el §3.2: la asíntota oblicua no es un fenómeno nuevo en su mecánica, sino la reaparición del algoritmo de la división allí demostrado, ahora leído desde la perspectiva del comportamiento en el infinito en lugar de la búsqueda de raíces. Y es, por construcción, mutuamente excluyente con la asíntota horizontal: una función racional tiene una o la otra, nunca ambas, porque el caso \(n=m+1\) del §4 y los casos \(n\leq m\) del §3 son disjuntos.

\(f(x)=\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x}\): el término \(-1/x\) se desvanece, dejando la recta \(y=x\).

Recordatorio. Cuando \(\deg(p)=\deg(q)+1\), dividir \(p\) por \(q\) da \(f(x)=(cx+d)+r(x)/q(x)\), y el término \(r(x)/q(x)\) se desvanece en el infinito: la recta \(y=cx+d\) es la asíntota oblicua.

Con dominio, huecos, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas ya caracterizados por completo, el catálogo de comportamiento posible de una función racional está cerrado. Ese cierre no es solo técnico: es también, en un sentido más amplio, el cierre de la pregunta que abrió este capítulo en su índice, sobre qué significa construir —y no simplemente enumerar— los objetos matemáticos con los que se trabaja. Esa reflexión, más filosófica que algebraica, es el tema de la sección final del capítulo.