Capítulo 10 — Inducción, Recurrencia y Sumas¶
10.3 — Progresiones¶
La inducción confirma una fórmula que alguien ya sospechaba; no dice de dónde salió la sospecha.
Las dos recurrencias más simples consisten en sumar siempre la misma cantidad o en multiplicar siempre por el mismo factor. Producen las progresiones aritméticas y geométricas, que ya aparecieron sin ese nombre en el libro: las primeras son las funciones lineales del §1.10 evaluadas en los naturales, y las segundas son las exponenciales del capítulo 4 en los mismos puntos. Esta sección calcula sus términos y sus sumas finitas, y aprovecha el cálculo para mostrar una distinción que la inducción suele ocultar. Una prueba por inducción establece que una fórmula es correcta, pero presupone que la fórmula ya se conoce. Para encontrarla hace falta otro método, y las sumas telescópicas del §10.2 lo proporcionan.
§1. Progresiones aritméticas¶
Definición. Una progresión aritmética de diferencia \(d\in\mathbb{R}\) es una sucesión que cumple \(a_{n+1}=a_n+d\) para todo \(n\).
Por el teorema de recursión, el primer término y la diferencia la determinan. Su término general se obtiene por inducción: \(a_n=a_1+(n-1)d\). Para \(n=1\) es inmediato, y si vale para \(n\), entonces \(a_{n+1}=a_1+(n-1)d+d=a_1+nd\).
La suma de sus términos se reduce a la de los primeros naturales, que es el primer resultado del capítulo con historia propia.
Proposición. Para todo \(n\in\mathbb{N}\),
Demostración. Para \(n=1\) ambos miembros valen \(1\). Si la igualdad vale para \(n\), entonces
que es la igualdad para \(n+1\). \(\blacksquare\)
La prueba es correcta y no explica nada. Otra prueba sí lo hace. Por la inversión del orden del §10.2 §3, la suma \(S=\sum_{k=1}^{n}k\) también es igual a \(\sum_{k=1}^{n}(n+1-k)\). Sumando ambas expresiones término a término con la linealidad,
La idea es emparejar el primero con el último, el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente: cada par suma \(n+1\) y hay \(n\) pares si se cuenta cada término dos veces. La tradición atribuye este razonamiento a Gauss niño, a quien un maestro habría pedido sumar los naturales del \(1\) al \(100\) para mantenerlo ocupado. La anécdota está probablemente embellecida, pero la idea es exacta, y la figura la muestra como el llenado de un rectángulo con dos escaleras iguales.
Con este resultado, la suma de una progresión aritmética es inmediata. Por la linealidad,
donde se usó \(\sum_{k=1}^{n}(k-1)=\sum_{k=1}^{n-1}k\), que resulta de la partición y del corrimiento de índices. La suma es el número de términos multiplicado por el promedio del primero y el último. Es el mismo emparejamiento de Gauss, aplicado a una progresión cualquiera.
§2. Progresiones geométricas¶
Definición. Una progresión geométrica de razón \(r\in\mathbb{R}\) es una sucesión que cumple \(a_{n+1}=r\,a_n\) para todo \(n\).
Su término general es \(a_n=a_1r^{n-1}\), por una inducción idéntica a la del §1. La suma de sus términos se calcula con una telescópica.
Proposición. Si \(r\neq 1\), para todo \(n\in\mathbb{N}\),
Si \(r=1\), la suma vale \(n\).
Demostración. Multiplicando la suma por \(1-r\) y usando la linealidad,
porque la última suma es telescópica (§10.2 §3, con \(b_k=-r^k\) y los índices corridos para empezar en \(0\)). Si \(r\neq 1\), se divide por \(1-r\). Si \(r=1\), todos los términos valen \(1\) y hay \(n\) de ellos. \(\blacksquare\)
La suma de una progresión geométrica cualquiera se obtiene multiplicando por \(a_1\): \(\sum_{k=1}^{n}a_1r^{k-1}=a_1\tfrac{1-r^n}{1-r}\). La diferencia de comportamiento con las progresiones aritméticas es grande. Una progresión aritmética crece como \(n\), y su suma como \(n^2\). Una progresión geométrica de razón \(r>1\) crece como \(r^n\), más rápido que cualquier potencia de \(n\), y su suma también. La leyenda del inventor del ajedrez, que pidió un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera y así hasta la sexagésimo cuarta, lo muestra con crudeza: por la proposición, el total es \(2^{64}-1\), un número de veinte cifras. Pero cuando \(|r|<1\) ocurre lo contrario, y la suma se estabiliza. Ese caso es el tema del §10.4.
Recordatorio. Aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) y \(\sum_{k=1}^n a_k=\tfrac{n(a_1+a_n)}{2}\). Geométrica: \(a_n=a_1r^{n-1}\) y \(\sum_{k=0}^{n-1}r^k=\tfrac{1-r^n}{1-r}\) si \(r\neq 1\).
§3. Sumas de potencias: verificar y descubrir¶
Proposición. Para todo \(n\in\mathbb{N}\),
Demostración. Para la primera, con \(n=1\) ambos miembros valen \(1\). Si vale para \(n\), entonces
porque \(2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)\). Esa es la fórmula para \(n+1\). Para la segunda, con \(n=1\) ambos miembros valen \(1\), y si vale para \(n\),
Las dos pruebas funcionan, pero ninguna dice cómo se llegó a las fórmulas. Una prueba por inducción es un procedimiento de verificación: exige tener el enunciado completo antes de empezar. Si en lugar de \(\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) se hubiera conjeturado otra expresión, la inducción habría fallado, pero no habría dicho cuál era la correcta. Para descubrir la fórmula se usa la telescópica. Por el desarrollo del cubo del §1.3,
Sumando desde \(k=1\) hasta \(n\), el primer miembro es telescópico y vale \((n+1)^3-1\), y el segundo, por la linealidad, es \(3\sum k^2+3\sum k+n\). Despejando, con la suma de los \(k\) ya conocida,
lo que da la fórmula. Esta cuenta no presupone el resultado: lo produce. Con \((k+1)^4-k^4\) se obtiene del mismo modo la suma de los cubos, y en general cada suma de potencias se deduce de las anteriores. La telescopía es el método de descubrimiento y la inducción el de verificación. Un matemático usa los dos, y un libro que solo muestre el segundo da la impresión equivocada de que las fórmulas caen del cielo.
La igualdad \(\sum k^3=\left(\sum k\right)^2\) tiene, además, una curiosidad propia. La suma de los primeros cubos es el cuadrado de la suma de los primeros naturales, una coincidencia que la cuenta confirma pero no vuelve menos sorprendente.
§4. Un anticipo: el área bajo la parábola¶
La suma de los cuadrados permite calcular un área que la geometría elemental no alcanza: la de la región bajo la parábola \(y=x^2\) entre \(x=0\) y \(x=1\). Se divide el intervalo \([0,1]\) en \(n\) partes iguales y se aproxima la región por rectángulos. Los rectángulos con alturas tomadas en el extremo izquierdo de cada parte quedan dentro de la región, y los que las toman en el extremo derecho la cubren. Sus áreas totales son
por la proposición del §3. El área buscada, si existe, debe estar entre \(s_n\) y \(S_n\) para todo \(n\).
Proposición. Para todo \(n\in\mathbb{N}\) se cumple \(s_n<\tfrac13<S_n\), y \(\tfrac13\) es el único número real con esa propiedad.
Demostración. La desigualdad \(S_n>\tfrac13\) equivale a \((n+1)(2n+1)>2n^2\), es decir, a \(2n^2+3n+1>2n^2\), que es cierta. La desigualdad \(s_n<\tfrac13\) equivale a \((n-1)(2n-1)<2n^2\), es decir, a \(2n^2-3n+1<2n^2\), que es cierta porque \(3n>1\). Para la unicidad, si un número \(A\) también cumpliera \(s_n\leq A\leq S_n\) para todo \(n\), entonces \(|A-\tfrac13|\leq S_n-s_n\) para todo \(n\). Como los rectángulos exteriores e interiores difieren solo en el último, \(S_n-s_n=\tfrac{1}{n}\cdot 1^2=\tfrac1n\). Por la propiedad arquimediana del §10.1 §2, para cualquier número positivo existe \(n\) con \(\tfrac1n\) menor que él, de modo que \(|A-\tfrac13|\) no puede ser positivo. \(\blacksquare\)
El área bajo la parábola es, entonces, \(\tfrac13\), en el único sentido en que la pregunta puede responderse sin una teoría general del área: es el único número atrapado entre todas las aproximaciones por defecto y por exceso. El argumento es, en miniatura, la integral del Cálculo, y en el siglo III a. C. Arquímedes obtuvo el mismo resultado para un segmento de parábola con un método diferente, que el §10.4 vuelve a encontrar.
Las progresiones geométricas de razón menor que uno en valor absoluto tienen sumas parciales que se acercan a un número fijo. La sección siguiente convierte esa observación en una definición y la usa para decidir qué números tienen desarrollos decimales periódicos.