Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶

2.1 — La Noción de Función: de la Correspondencia al Determinismo¶

Antes de preguntar cómo se comporta una función, hay que preguntar qué tipo de objeto es.

Los diez apartados del capítulo anterior trabajaron sobre números, expresiones y curvas aisladas: un valor de $x$ que satisface una ecuación, un punto del plano que pertenece a una circunferencia. Lo que falta todavía es el objeto que vincula, de manera sistemática, un conjunto de valores con otro: la función. No se trata de una fórmula ni de una gráfica —ambas son, como se verá, representaciones de algo más elemental—, sino de una relación entre dos conjuntos que obedece una condición muy particular. Fijar esa condición con precisión, antes de manipular una sola función concreta, es el propósito de esta sección.

§1. El producto cartesiano¶

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a $A$ y cuya segunda pertenece a $B$:

\[A \times B = \{(a,b) \mid a \in A,\ b \in B\}\]

Esta es la misma notación por comprensión fijada en el §1.1 §3: la barra $\mid$ introduce la condición, y $\in$ la pertenencia. La palabra "ordenado" no es un adorno: el par $(a,b)$ se distingue de $(b,a)$ salvo que $a=b$, de modo que $A \times B$ y $B \times A$ son, en general, conjuntos distintos.

El caso $A=B=\mathbb{R}$ ya es familiar, aunque no se lo haya nombrado así hasta ahora: $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, también denotado $\mathbb{R}^2$, es exactamente el plano cartesiano introducido en el §1.8 §1. Cada punto $(x,y)$ del plano no es más que un elemento de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, y la geometría analítica de todo el capítulo anterior puede releerse, en retrospectiva, como el estudio de ciertos subconjuntos de este producto cartesiano particular.

§2. Relaciones y el símbolo $\subseteq$¶

Antes de seguir conviene fijar un símbolo que el libro ya viene usando de manera implícita desde la torre $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ del §1.1 §5, pero sin haberlo definido formalmente como relación entre conjuntos. Dados dos conjuntos $S$ y $T$, se dice que $S$ es subconjunto de $T$, y se escribe $S \subseteq T$, cuando todo elemento de $S$ pertenece también a $T$:

\[S \subseteq T \quad \Longleftrightarrow \quad (x \in S \implies x \in T)\]

Cuando además $S \neq T$, se dice que $S$ es subconjunto propio de $T$, y se usa el símbolo estricto $\subset$ —el mismo que ya distinguía, sin decirlo, cada inclusión de la torre numérica—.

Con este vocabulario, una relación $R$ de $A$ en $B$ es, por definición, cualquier subconjunto de $A\times B$:

\[R \subseteq A \times B\]

Nótese la generalidad de esta definición: no exige nada sobre cómo se distribuyen los pares dentro de $R$. La ecuación de la circunferencia del §1.8 §4, por ejemplo, define una relación en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$: el conjunto $R = \{(x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R} \mid (x-h)^2+(y-k)^2=r^2\}$ es, sin más, un subconjunto de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, y por lo tanto una relación perfectamente legítima. Pero, como se verá enseguida, no toda relación merece llamarse función.

Recordatorio. $A\times B$ reúne todos los pares ordenados posibles entre $A$ y $B$. $S\subseteq T$: todo elemento de $S$ está en $T$. Una relación es, sin restricción alguna, cualquier subconjunto de $A\times B$.

§3. La función: existencia y unicidad¶

Entre todas las relaciones posibles de $A$ en $B$, interesa un tipo muy particular: aquel en el que cada elemento de $A$ determina, sin ambigüedad, un único elemento de $B$. Esa es, precisamente, la definición de función.

Definición. Una relación $f \subseteq A\times B$ es una función de $A$ en $B$ si se cumplen simultáneamente dos condiciones:

\[\textbf{(Existencia)} \quad \forall\, a \in A,\ \exists\, b \in B \text{ tal que } (a,b) \in f$$ $$\textbf{(Unicidad)} \quad \text{si } (a,b_1)\in f \text{ y } (a,b_2) \in f,\ \text{entonces } b_1=b_2\]

El símbolo $\forall$ se lee "para todo" y $\exists$, "existe"; la combinación $\exists!$, que aparecerá de aquí en más, abrevia "existe un único". Con esa abreviatura, las dos condiciones anteriores se condensan en una sola línea:

\[\forall\, a\in A,\ \exists!\, b\in B \text{ tal que } (a,b)\in f\]

Cuando esa condición se cumple, el único $b$ asociado a cada $a$ se denota $f(a)$, y se dice que $f(a)$ es la imagen de $a$ bajo $f$, o el valor de $f$ en $a$.

Vale la pena detenerse en por qué se exigen las dos condiciones a la vez, y no solo una. La existencia garantiza que ningún elemento de $A$ quede sin asociación: la función está definida en todo $A$, sin excepciones. La unicidad es la condición más restrictiva, y la que realmente separa a una función del resto de las relaciones: prohíbe que un mismo $a$ se vincule con dos valores distintos. Sin ella, "$f(a)$" sería una expresión ambigua —¿cuál de los posibles valores designa?—, y toda la maquinaria algebraica que el resto del libro construye sobre funciones, desde resolver $f(x)=0$ hasta componer $g\circ f$, perdería sentido.

Retómese ahora la circunferencia del §2 como contraejemplo. La relación $R=\{(x,y)\mid x^2+y^2=r^2\}$ no es una función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$: para casi todo $x$ con $|x|<r$, existen dos valores de $y$ —uno positivo y uno negativo— que satisfacen la ecuación, violando la unicidad. La circunferencia completa es, en este sentido preciso, una relación legítima pero no una función; más adelante se verá que su mitad superior, $y=\sqrt{r^2-x^2}$, sí lo es.

Recordatorio. Función = relación que cumple existencia ($\forall a$, hay algún $b$) y unicidad ($b$ es único). $\exists!$ se lee "existe un único". La circunferencia completa no es función; viola la unicidad.

§4. Dominio, codominio e imagen¶

Fijada la definición, corresponde nombrar sus componentes. Si $f$ es una función de $A$ en $B$, se escribe

\[f: A \to B\]

y se dice que $A$ es el dominio de $f$, denotado $\text{Dom}(f)$, y que $B$ es su codominio. La flecha larga, $A\to B$, declara estos dos conjuntos; una segunda notación, $x \mapsto f(x)$, con flecha corta, declara en cambio la regla de asignación —qué hace $f$ con cada elemento—. Ambas piezas de información son necesarias e independientes: dos funciones con la misma regla pero distinto codominio declarado son, formalmente, funciones distintas, aunque esta distinción solo cobrará importancia práctica al hablar de sobreyectividad más adelante en el capítulo.

El codominio es el conjunto de llegada declarado, pero no todo elemento del codominio necesita ser efectivamente alcanzado por $f$. El subconjunto de $B$ que sí se alcanza tiene nombre propio:

\[\text{Img}(f) = \{f(a) \mid a \in A\} \subseteq B\]

la imagen de $f$. La inclusión $\text{Img}(f) \subseteq B$ puede ser propia o no: nada en la definición de función obliga a que todo el codominio quede cubierto. Esta distinción entre codominio e imagen —entre lo declarado como posible y lo efectivamente alcanzado— parece por ahora un tecnicismo, pero es exactamente la que permitirá, en el §2.7, precisar qué significa que una función sea sobreyectiva.

Ejemplo. Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$. El codominio declarado es todo $\mathbb{R}$, pero la imagen es $\text{Img}(f) = [0,\infty)$, usando la notación de intervalos del §1.1 §7: ningún real negativo es alcanzado, porque ningún cuadrado real lo es. Codominio e imagen no coinciden, y ambos son, sin embargo, datos legítimos y distintos de la función.

Recordatorio. $f:A\to B$ declara dominio $A$ y codominio $B$; $x\mapsto f(x)$ declara la regla. $\text{Img}(f)\subseteq B$: la imagen es lo efectivamente alcanzado, y puede ser un subconjunto propio del codominio.

§5. Representaciones de una función¶

Una misma función admite distintas formas de presentarse, y reconocerlas como equivalentes —no como objetos distintos— es parte del dominio del concepto.

Representación verbal. Describe la regla de asignación en lenguaje ordinario: "a cada número real se le asigna su cuadrado". Es la forma menos precisa, pero suele ser el punto de partida al traducir un problema del mundo real, en la misma línea que el §1.6 tradujo enunciados a ecuaciones.

Representación numérica. Una tabla de pares $(a,f(a))$ para valores puntuales del dominio. Es necesariamente incompleta cuando el dominio es infinito —ninguna tabla agota a $\mathbb{R}$—, pero es la forma más directa de trabajar con datos experimentales o discretos.

Representación algebraica. Una fórmula que calcula $f(x)$ a partir de $x$ mediante las operaciones ya disponibles: suma, producto, potencias, radicales, cocientes. Esta es la forma predominante en el resto del libro, con una salvedad importante: no toda función admite una única fórmula válida en todo su dominio. Cuando la regla de asignación cambia según el valor de $x$, la función se dice definida a trozos, y se escribe mediante una llave que distingue los casos —la misma notación por casos que ya apareció, sin nombrarla todavía así, en la definición de valor absoluto del §1.1 §8—:

\[|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}\]

El valor absoluto es, en retrospectiva, el primer ejemplo que ofreció este libro de una función a trozos, aunque en su momento faltara todavía el vocabulario para llamarla así. Nada en la definición de función del §3 exige una fórmula única: exige solo que a cada $x$ del dominio corresponda un único valor, sin importar si ese valor se calcula de una manera para $x\ge0$ y de otra para $x<0$. De hecho, verificar que una expresión a trozos define efectivamente una función exige revisar que los distintos casos no se superpongan de manera contradictoria —que ningún valor de $x$ quede cubierto por dos reglas que den resultados distintos—, y que, en conjunto, cubran todo el dominio declarado.

Representación gráfica. El conjunto de pares que una función efectivamente relaciona puede visualizarse como una figura en el plano. Formalmente,

\[\text{Gr}(f) = \{(x,f(x)) \mid x \in \text{Dom}(f)\} \subseteq \mathbb{R}\times\mathbb{R}\]

es la gráfica de $f$: no un dibujo que se traza y después se interpreta, sino, con toda precisión, un subconjunto particular de $\mathbb{R}^2$ —el mismo plano cartesiano del §1.8, ahora poblado no por una curva definida implícitamente, como la circunferencia, sino por los pares que la función misma determina—. Esta definición deja pendiente una pregunta natural: dado un subconjunto cualquiera de $\mathbb{R}^2$, ¿cómo reconocer si es la gráfica de alguna función? La respuesta —una traducción geométrica directa de la condición de unicidad del §3— es el primer tema de la sección siguiente.

Recordatorio. Cuatro representaciones de un mismo objeto: verbal, numérica, algebraica (incluidas las funciones a trozos) y gráfica. La gráfica no es un dibujo intuitivo sino el subconjunto $\{(x,f(x))\}\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, definido con la misma precisión que cualquier otro conjunto de este libro.

La condición de unicidad exigida en el §3 no es un capricho formal: es la manera matemática de expresar el determinismo. Una relación cualquiera —como la circunferencia completa— permite que una misma causa, un mismo valor de entrada, conviva con más de un efecto posible; una función, en cambio, postula que fijado el valor de entrada, el de salida queda completamente determinado, sin margen de ambigüedad. Esta exigencia no es privativa de la matemática: es la misma que se espera de una ley física —a cada estado inicial, un único estado resultante— y es, en ese sentido, la contraparte matemática de una idea mucho más general sobre cómo se relacionan las causas con sus efectos. Queda abierta, sin embargo, una pregunta que el resto del capítulo no resuelve del todo: ¿es esta unicidad una propiedad que la matemática descubre en el mundo, o una condición que la matemática impone para poder hablar de él con precisión?

Con la función definida como objeto conjuntista y sus representaciones ya distinguidas, la sección siguiente aborda la pregunta que toda fórmula algebraica plantea de inmediato: ¿para qué valores de $x$ tiene sentido calcular $f(x)$? Esa pregunta —la del dominio implícito— es el tema del §2.2.