Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.1 — La Noción de Función: de la Correspondencia al Determinismo¶
Antes de preguntar cómo se comporta una función, hay que preguntar qué tipo de objeto es.
El capítulo anterior trabajó con números, expresiones y curvas: un valor de \(x\) que satisface una ecuación, un punto del plano que pertenece a una circunferencia. Falta todavía el objeto que vincula de manera sistemática los elementos de un conjunto con los de otro: la función. Una función no es una fórmula ni una gráfica; ambas son, como veremos, maneras de presentar algo más elemental. Es una relación entre dos conjuntos que cumple una condición muy particular. Fijar esa condición con precisión, antes de manipular una sola función concreta, es el propósito de esta sección.
§1. El producto cartesiano¶
Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a \(A\) y cuya segunda componente pertenece a \(B\):
Es la notación por comprensión del §1.1: la barra \(\mid\) separa los elementos de la condición que cumplen, y \(\in\) indica pertenencia. Como en el §1.8, el orden importa: \((a, b) = (c, d)\) significa \(a = c\) y \(b = d\), de modo que \((a, b)\) y \((b, a)\) son pares distintos salvo que \(a = b\). Por eso \(A \times B\) y \(B \times A\) son, en general, conjuntos distintos.
El caso \(A = B = \mathbb{R}\) ya nos es familiar aunque no lo hayamos llamado así: \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) es el conjunto \(\mathbb{R}^2\) del §1.8, el plano cartesiano. La geometría analítica del capítulo anterior puede releerse como el estudio de ciertos subconjuntos de este producto cartesiano.
§2. Inclusión de conjuntos y relaciones¶
Antes de seguir conviene fijar un símbolo que el libro viene usando sin haberlo definido, desde la cadena de conjuntos numéricos del §1.1. Dados dos conjuntos \(S\) y \(T\), decimos que \(S\) es subconjunto de \(T\), y escribimos \(S \subseteq T\), cuando todo elemento de \(S\) pertenece también a \(T\):
La flecha \(\Rightarrow\) se lee "implica": si \(x\) está en \(S\), entonces está en \(T\). Cuando además \(S \neq T\), decimos que \(S\) es subconjunto propio de \(T\) y usamos el símbolo estricto \(\subset\), el mismo de la cadena \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
Con este vocabulario, una relación de \(A\) en \(B\) es, por definición, cualquier subconjunto \(R \subseteq A \times B\). La definición no exige nada sobre cómo se distribuyen los pares dentro de \(R\). La circunferencia del §1.8, por ejemplo, es una relación en \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\):
con \(r > 0\), es un subconjunto de \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) y, por lo tanto, una relación legítima. Pero, como veremos enseguida, no toda relación merece llamarse función.
Recordatorio. \(A \times B\) reúne todos los pares ordenados posibles entre \(A\) y \(B\). \(S \subseteq T\) significa que todo elemento de \(S\) está en \(T\). Una relación de \(A\) en \(B\) es cualquier subconjunto de \(A \times B\).
§3. La función: existencia y unicidad¶
Entre todas las relaciones de \(A\) en \(B\) interesa un tipo particular: aquellas en las que cada elemento de \(A\) determina, sin ambigüedad, un único elemento de \(B\).
Definición. Una relación \(f \subseteq A \times B\) es una función de \(A\) en \(B\) si cumple dos condiciones:
(Existencia) para todo \(a \in A\) existe \(b \in B\) tal que \((a, b) \in f\);
(Unicidad) si \((a, b_1) \in f\) y \((a, b_2) \in f\), entonces \(b_1 = b_2\).
Las dos condiciones se abrevian con símbolos que usaremos de aquí en adelante. El símbolo \(\forall\) se lee "para todo", \(\exists\) se lee "existe" y \(\exists!\) se lee "existe un único". Con ellos, las dos condiciones caben en una línea:
Cuando esto se cumple, el único \(b\) asociado a \(a\) se denota \(f(a)\), y se llama imagen de \(a\) por \(f\) o valor de \(f\) en \(a\).
¿Por qué se exigen las dos condiciones? La existencia garantiza que ningún elemento de \(A\) quede sin asociar: la función está definida en todo \(A\). La unicidad es la condición que separa a una función del resto de las relaciones: prohíbe que un mismo \(a\) se vincule con dos valores distintos. Sin ella, la expresión "\(f(a)\)" sería ambigua, porque no sabríamos cuál de los posibles valores designa, y todo lo que el libro construye sobre funciones, desde resolver \(f(x) = 0\) hasta componer funciones, perdería sentido.
La circunferencia del §2 muestra cómo pueden fallar ambas condiciones. Si \(|x| < r\), entonces \(r^2 - x^2 > 0\), y hay dos valores distintos de \(y\) que satisfacen \(x^2 + y^2 = r^2\), a saber \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\) e \(y = -\sqrt{r^2 - x^2}\): falla la unicidad. Si \(|x| > r\), entonces \(r^2 - x^2 < 0\), y ningún real \(y\) cumple \(y^2 = r^2 - x^2\): falla la existencia. La circunferencia es una relación legítima, pero no una función de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\). Su mitad superior, \(\{(x, y) \mid y = \sqrt{r^2 - x^2}\}\), sí es una función de \([-r, r]\) en \(\mathbb{R}\): para cada \(x\) de ese intervalo, la raíz existe y es única por el §1.2.
Recordatorio. Una función de \(A\) en \(B\) es una relación que cumple existencia (a cada \(a\) le corresponde algún \(b\)) y unicidad (ese \(b\) es único). La circunferencia completa no es una función.
§4. Dominio, codominio e imagen¶
Si \(f\) es una función de \(A\) en \(B\), escribimos
y decimos que \(A\) es el dominio de \(f\), denotado \(\operatorname{Dom}(f)\), y que \(B\) es su codominio. La escritura \(f : A \to B\) declara los dos conjuntos. La regla de asignación se declara con otra flecha, \(\mapsto\), que lleva una pequeña barra en su origen: \(x \mapsto x^2\) se lee "a \(x\) se le asigna \(x^2\)". Así, \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto x^2\) describe por completo una función.
Hay aquí una sutileza. Como conjunto de pares, \(f\) no recuerda su codominio: el mismo conjunto de pares es subconjunto de \(A \times B\) y de \(A \times B'\) para cualquier \(B'\) que contenga a todos los valores de \(f\). Sin embargo, el codominio es un dato que vamos a necesitar en el §2.7, al definir cuándo una función es sobreyectiva. Por eso adoptamos la convención habitual: una función queda determinada por tres datos, su dominio, su codominio y su conjunto de pares, y dos funciones con los mismos pares pero distinto codominio declarado se consideran distintas.
No todo elemento del codominio tiene que ser alcanzado. El subconjunto de \(B\) que sí se alcanza es la imagen de \(f\):
La inclusión \(\operatorname{Img}(f) \subseteq B\) puede ser propia: nada en la definición de función obliga a cubrir todo el codominio. Esta diferencia entre lo declarado como posible y lo efectivamente alcanzado parece por ahora un tecnicismo, pero es justamente la que permitirá, en el §2.7, precisar qué significa que una función sea sobreyectiva.
Ejemplo. Sea \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\). Su imagen es el intervalo \([0, \infty)\), en la notación del §1.1. Para probarlo hay que ver dos cosas. Por un lado, ningún real negativo es alcanzado, porque ningún cuadrado real es negativo (§1.3). Por otro, todo \(y \ge 0\) es alcanzado: por el §1.2 existe \(\sqrt{y}\), y \(f(\sqrt{y}) = y\). El codominio es \(\mathbb{R}\) y la imagen es \([0, \infty)\): no coinciden, y ambos son datos legítimos de la función.
Recordatorio. \(f : A \to B\) declara el dominio \(A\) y el codominio \(B\); \(x \mapsto f(x)\) declara la regla. La imagen es lo efectivamente alcanzado, y puede ser un subconjunto propio del codominio.
§5. Representaciones de una función¶
Una misma función admite distintas formas de presentarse, y reconocerlas como presentaciones de un mismo objeto es parte de entender el concepto.
Representación verbal. Describe la regla en lenguaje corriente: "a cada número real se le asigna su cuadrado". Es la forma menos precisa, pero suele ser el punto de partida al traducir un problema, como en el §1.6.
Representación numérica. Es una tabla de pares \((a, f(a))\) para algunos valores del dominio. Cuando el dominio es infinito es necesariamente incompleta, porque ninguna tabla agota a \(\mathbb{R}\), pero es la forma más directa de trabajar con datos experimentales.
Representación algebraica. Es una fórmula que calcula \(f(x)\) a partir de \(x\) con las operaciones ya disponibles: sumas, productos, potencias, raíces y cocientes. Es la forma predominante en el resto del libro, con una salvedad: no toda función admite una sola fórmula válida en todo su dominio. Cuando la regla cambia según el valor de \(x\), la función se dice definida a trozos, y se escribe con una llave que distingue los casos. El valor absoluto del §1.1 es el primer ejemplo:
La definición del §3 no exige una fórmula única: exige que a cada \(x\) del dominio le corresponda un único valor, sin importar si se calcula de una manera para \(x \ge 0\) y de otra para \(x < 0\). Para que una expresión a trozos defina efectivamente una función hay que comprobar dos cosas: que los casos cubran todo el dominio declarado, que es la existencia, y que, si dos casos se superponen en algún valor de \(x\), den allí el mismo resultado, que es la unicidad.
Representación gráfica. La gráfica de una función \(f\) con dominio contenido en \(\mathbb{R}\) es el conjunto
No es un dibujo que se traza y después se interpreta, sino un subconjunto preciso del plano del §1.8. De hecho, con la definición del §3, la gráfica es el propio conjunto de pares \(f\); el nombre \(\operatorname{Gr}(f)\) subraya que lo miramos como figura del plano. Queda una pregunta natural: dado un subconjunto cualquiera del plano, ¿cómo reconocer si es la gráfica de alguna función? La respuesta, una traducción geométrica de la condición de unicidad, es el primer tema del §2.3.
Recordatorio. Una función tiene cuatro presentaciones habituales: verbal, numérica, algebraica, incluidas las funciones a trozos, y gráfica. La gráfica no es un dibujo intuitivo sino el conjunto \(\{(x, f(x))\}\) de pares de la función.
La condición de unicidad del §3 no es un capricho formal: es la manera matemática de expresar el determinismo. Una relación cualquiera, como la circunferencia completa, permite que un mismo valor de entrada conviva con más de un valor de salida. Una función, en cambio, establece que, fijada la entrada, la salida queda completamente determinada. La misma exigencia se espera de una ley física: a cada estado inicial, un único estado resultante. Queda abierta una pregunta que el resto del capítulo no resuelve del todo: ¿es esta unicidad una propiedad que la matemática descubre en el mundo, o una condición que la matemática impone para poder hablar de él con precisión?
Con la función definida como objeto y sus representaciones ya distinguidas, la sección siguiente aborda la pregunta que toda fórmula plantea de inmediato: para qué valores de \(x\) tiene sentido calcular \(f(x)\). Es la pregunta del dominio implícito, tema del §2.2.