Capítulo 7 - Trigonometría Analítica¶

7.3 - Fórmulas para Ángulo Doble, Mitad de Ángulo y Producto-Suma¶

Una fórmula bien elegida se lee en los dos sentidos: lo que sirve para duplicar un ángulo sirve, al revés, para dividirlo por la mitad.

Las fórmulas de suma del §7.2 se especializan y se combinan de tres maneras que aparecen constantemente. Con $\beta=\alpha$ dan las fórmulas de ángulo doble. Leídas al revés, dan las de la mitad de un ángulo. Y sumando o restando dos de ellas se obtienen las que convierten productos de funciones en sumas, y sumas en productos. Al final de la sección, esas últimas resuelven una cuestión que el libro tenía pendiente: la monotonía del seno, el coseno y la tangente, que las funciones inversas del §7.4 necesitan.

§1. Ángulo doble¶

Teorema. Para todo $t\in\mathbb{R}$, $$\sin2t=2\sin t\cos t\qquad\cos2t=\cos^2t-\sin^2t=2\cos^2t-1=1-2\sin^2t$$ y, donde $\tan t$ y $\tan2t$ están definidas, $\tan2t=\dfrac{2\tan t}{1-\tan^2t}$.

Demostración. Basta tomar $\alpha=\beta=t$ en las fórmulas de suma del §7.2: $\sin2t=\sin t\cos t+\cos t\sin t$ y $\cos2t=\cos^2t-\sin^2t$. Las otras dos expresiones del coseno se obtienen reemplazando $\sin^2t=1-\cos^2t$ o $\cos^2t=1-\sin^2t$, según convenga. Para la tangente, la fórmula de la suma con $\alpha=\beta=t$ da $\dfrac{2\tan t}{1-\tan^2t}$. $\blacksquare$

Las tres formas del coseno del ángulo doble no son intercambiables por casualidad: cada una expresa $\cos2t$ en términos de una sola función, o de ambas, y cuál conviene depende del problema.

Ejemplo. La fórmula del ángulo triple no figura entre las básicas, pero se deduce de las anteriores: $\sin3t=\sin(2t+t)=\sin2t\cos t+\cos2t\sin t=2\sin t\cos^2t+(1-2\sin^2t)\sin t$, y reemplazando $\cos^2t=1-\sin^2t$ resulta $\sin3t=3\sin t-4\sin^3t$.

§2. Reducción de potencias y mitad de ángulo¶

De las dos últimas expresiones del coseno del ángulo doble se despejan los cuadrados: $$\sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2}\qquad\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$$ Estas identidades, llamadas de reducción de potencias, reemplazan un cuadrado por una expresión lineal en el coseno del ángulo doble. Reemplazando $t$ por $t/2$, dan las fórmulas de la mitad de un ángulo.

Teorema. Para todo $t\in\mathbb{R}$, $$\sin\frac{t}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}\qquad\cos\frac{t}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}$$ donde el signo es el de la función en el cuadrante de $t/2$ (tabla del §6.3). Además, para $\sin t\neq0$, $$\tan\frac{t}{2}=\frac{1-\cos t}{\sin t}=\frac{\sin t}{1+\cos t}$$ sin ambigüedad de signo.

Demostración. Las dos primeras salen de la reducción de potencias con $t/2$ en lugar de $t$: $\sin^2\frac{t}{2}=\frac{1-\cos t}{2}$, y se extrae la raíz con el signo que corresponda. Para la tangente, con $\sin t\neq0$ ambos $\sin\frac{t}{2}$ y $\cos\frac{t}{2}$ son no nulos, y $$\tan\frac{t}{2}=\frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}}=\frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}=\frac{1-\cos t}{\sin t}\qquad\tan\frac{t}{2}=\frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\cos^2\frac{t}{2}}=\frac{\sin t}{1+\cos t}$$ por las fórmulas del ángulo doble. $\blacksquare$

La ambigüedad de signo de las dos primeras es real y no un descuido: $t$ y $t+2\pi$ tienen el mismo coseno, pero sus mitades, $t/2$ y $t/2+\pi$, tienen senos opuestos. Por eso el cuadrante de $t/2$ decide, y no el de $t$. La tangente, en cambio, queda determinada sin signo porque $t$ y $t+2\pi$ tienen la misma tangente de la mitad ($\tan$ tiene período $\pi$).

Ejemplos. Como $15^\circ$ está en el cuadrante I y $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, resulta $\cos15^\circ=\sqrt{\dfrac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}$, que coincide con $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ del §7.2. Del mismo modo, $\tan22{,}5^\circ=\dfrac{1-\cos45^\circ}{\sin45^\circ}=\dfrac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=\sqrt2-1$.

Sea ahora $\sin\theta=\dfrac35$ con $\theta$ en el cuadrante II, de modo que $\cos\theta=-\dfrac45$. El ángulo doble da $\sin2\theta=2\cdot\dfrac35\cdot\left(-\dfrac45\right)=-\dfrac{24}{25}$ y $\cos2\theta=1-2\cdot\dfrac{9}{25}=\dfrac{7}{25}$. Para la mitad, $\theta/2$ está en el cuadrante I, porque $\theta\in(\pi/2,\pi)$, y por tanto $\sin\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\frac45}{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ y $\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\frac45}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$; la tangente da $\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\dfrac{3/5}{1/5}=3$, que concuerda.

Recordatorio. $\sin2t=2\sin t\cos t$; $\cos2t=\cos^2t-\sin^2t=2\cos^2t-1=1-2\sin^2t$. Mitad de ángulo: $\sin\frac{t}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}$, $\cos\frac{t}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}$, con el signo del cuadrante de $t/2$; $\tan\frac{t}{2}=\frac{\sin t}{1+\cos t}$ sin signo.

§3. Producto-suma y suma-producto¶

Sumando y restando las fórmulas de suma y resta del §7.2 se aíslan productos de funciones.

Teorema (producto a suma). Para todo par de números reales $\alpha$ y $\beta$, $$\sin\alpha\cos\beta=\tfrac12\big[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\big]\qquad\cos\alpha\cos\beta=\tfrac12\big[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\big]$$ $$\sin\alpha\sin\beta=\tfrac12\big[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\big]$$

Demostración. Sumando $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ y $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ resulta $2\sin\alpha\cos\beta$. Sumando $\cos(\alpha-\beta)$ y $\cos(\alpha+\beta)$ resulta $2\cos\alpha\cos\beta$, y restándolas en ese orden, $2\sin\alpha\sin\beta$. $\blacksquare$

Teorema (suma a producto). Para todo par de números reales $u$ y $v$, $$\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}\qquad\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$$ $$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}\qquad\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$$

Demostración. Se aplica el teorema anterior con $\alpha=\dfrac{u+v}{2}$ y $\beta=\dfrac{u-v}{2}$, de modo que $\alpha+\beta=u$ y $\alpha-\beta=v$. Por ejemplo, $\sin\alpha\cos\beta=\tfrac12[\sin u+\sin v]$ da la primera; las otras tres son análogas. $\blacksquare$

Ejemplos. $\cos75^\circ\cos15^\circ=\tfrac12[\cos60^\circ+\cos90^\circ]=\tfrac14$. Y $\sin75^\circ+\sin15^\circ=2\sin45^\circ\cos30^\circ=2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt6}{2}\approx1{,}2247$, que coincide con $0{,}9659+0{,}2588$.

Recordatorio. Producto a suma: $\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$, $\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$, $\sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$. Suma a producto: sustituir $\alpha=\frac{u+v}{2}$ y $\beta=\frac{u-v}{2}$.

§4. Monotonía de seno, coseno y tangente¶

Las fórmulas de suma a producto resuelven una cuestión que la teoría de funciones inversas necesita y que hasta ahora se había usado sin demostración: que seno, coseno y tangente son estrictamente monótonas en intervalos adecuados.

Proposición. El seno es estrictamente creciente en $[-\pi/2,\pi/2]$, el coseno es estrictamente decreciente en $[0,\pi]$, y la tangente es estrictamente creciente en $(-\pi/2,\pi/2)$.

Demostración. Sean $u<v$ dos puntos del intervalo correspondiente. Para el seno, con $-\pi/2\le u<v\le\pi/2$, la fórmula de suma a producto da $\sin v-\sin u=2\cos\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{v-u}{2}$. Aquí $\dfrac{u+v}{2}\in(-\pi/2,\pi/2)$, donde el coseno es positivo por el §6.3 y la paridad, y $\dfrac{v-u}{2}\in(0,\pi/2]$, donde el seno es positivo; por tanto $\sin v>\sin u$. Para el coseno, con $0\le u<v\le\pi$, se tiene $\cos v-\cos u=-2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{v-u}{2}$, con $\dfrac{u+v}{2}\in(0,\pi)$ y $\dfrac{v-u}{2}\in(0,\pi/2]$, de modo que ambos senos son positivos y $\cos v<\cos u$. Para la tangente, con $-\pi/2<u<v<\pi/2$, la fórmula de la diferencia da $\tan v-\tan u=\dfrac{\sin v\cos u-\cos v\sin u}{\cos u\cos v}=\dfrac{\sin(v-u)}{\cos u\cos v}$, con $v-u\in(0,\pi)$, de modo que el numerador es positivo, y los cosenos del denominador son positivos. $\blacksquare$

Este resultado justifica, además, el uso que el §6.4 hizo de la monotonía del seno en $[0,\pi/2]$ para el análisis del caso ambiguo: es un caso particular de la primera afirmación.

Recordatorio. $\sin$ crece estrictamente en $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, $\cos$ decrece estrictamente en $[0,\pi]$, $\tan$ crece estrictamente en $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Se demuestran con suma a producto.

Que una misma familia de fórmulas sirva para duplicar, dividir, convertir productos y probar monotonía sugiere que no son fórmulas distintas sino una sola vista desde ángulos diferentes. El paso de producto a suma tiene además una importancia histórica que excede su papel algebraico: durante algo más de treinta años, hasta la invención de los logaritmos, fue el método más usado para multiplicar números grandes, porque convierte una multiplicación en una suma con la ayuda de una tabla de cosenos. Es un antecedente directo de la función que el Capítulo 4 estudió, y se retoma en el cierre del capítulo (§7.8).

Con la monotonía demostrada, se puede por fin invertir las funciones trigonométricas. Ese es el tema de la sección siguiente.