Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.4 — El Catálogo de Funciones Prototipo y Comportamiento Asintótico¶
Antes de transformar una función, hace falta conocer la que se transforma.
El vocabulario del §2.3, con su dominio, imagen, ceros, signo, simetría y monotonía, se construyó para cualquier función. Esta sección lo pone a trabajar sobre unas pocas funciones concretas, elegidas no por su dificultad sino por lo contrario: son las más simples de cada familia, y por eso servirán de base, en el §2.5, para construir por transformación muchas otras funciones sin repetir el análisis desde cero. Una de ellas, además, mostrará un fenómeno que el libro solo mencionó de pasada en el §1.9: el de una función cuyos valores crecen sin cota.
§1. La galería elemental¶
Seis funciones forman el catálogo básico del capítulo.
| Función | Dominio | Imagen | Paridad | Monotonía |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=x\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | Impar | Creciente en \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x)=x^2\) | \(\mathbb{R}\) | \([0,\infty)\) | Par | Decreciente en \((-\infty,0]\), creciente en \([0,\infty)\) |
| \(f(x)=x^3\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | Impar | Creciente en \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x)=\vert x\vert\) | \(\mathbb{R}\) | \([0,\infty)\) | Par | Decreciente en \((-\infty,0]\), creciente en \([0,\infty)\) |
| \(f(x)=\sqrt{x}\) | \([0,\infty)\) | \([0,\infty)\) | Ninguna | Creciente en \([0,\infty)\) |
| \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | Impar | Decreciente en \((-\infty,0)\) y en \((0,\infty)\), por separado |
Figura 2.2 — Los seis prototipos de la galería elemental.
Cada renglón de la tabla es una afirmación que se demuestra con lo ya visto. Los dominios salen del §2.2: \(\sqrt{x}\) exige radicando no negativo y \(\frac{1}{x}\), denominador no nulo. Las paridades se comprueban como en el §2.3: por ejemplo, \(\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}\) dice que \(\frac{1}{x}\) es impar, y \(|-x| = |x|\) dice que el valor absoluto es par. La monotonía de \(x^2\) se probó en el §2.3, y la de \(|x|\) es inmediata, porque \(|x| = -x\) para \(x \le 0\) y \(|x| = x\) para \(x \ge 0\). Quedan las imágenes y las demás monotonías.
Para las imágenes, hay que ver que cada valor de la columna se alcanza y que no se alcanza ningún otro. Todo real \(y\) es el cubo de algún real, porque por el §1.2 existe \(\sqrt[3]{y}\); la imagen de \(x^3\) es \(\mathbb{R}\). Todo \(y \ge 0\) es la raíz cuadrada de \(y^2\), y una raíz cuadrada nunca es negativa; la imagen de \(\sqrt{x}\) es \([0, \infty)\). Todo \(y \neq 0\) es el recíproco de \(\frac{1}{y}\), y un recíproco nunca es cero; la imagen de \(\frac{1}{x}\) es \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
Para las monotonías, el instrumento es otra vez el lema del §1.2: si \(0 \le u < v\), entonces \(u^n < v^n\). La función \(x^3\) es creciente en \(\mathbb{R}\): si \(0 \le x_1 < x_2\), el lema da \(x_1^3 < x_2^3\); si \(x_1 < x_2 \le 0\), el lema aplicado a \(0 \le -x_2 < -x_1\) da \(-x_2^3 < -x_1^3\), es decir, \(x_1^3 < x_2^3\); y si \(x_1 < 0 < x_2\), entonces \(x_1^3 < 0 < x_2^3\). La función \(\sqrt{x}\) es creciente en \([0, \infty)\): si \(0 \le x_1 < x_2\) y fuera \(\sqrt{x_2} \le \sqrt{x_1}\), el lema daría \(x_2 \le x_1\), que es falso. La función \(\frac{1}{x}\) es decreciente en \((0, \infty)\): si \(0 < x_1 < x_2\), multiplicando por el número positivo \(\frac{1}{x_1 x_2}\) se obtiene \(\frac{1}{x_2} < \frac{1}{x_1}\). En \((-\infty, 0)\) el argumento es el mismo, porque si \(x_1\) y \(x_2\) son ambos negativos, \(x_1 x_2\) es positivo.
Dos renglones merecen un comentario por lo que anticipan.
El primero es el de \(\sqrt{x}\), que no es par ni impar por una razón estructural: su dominio, \([0, \infty)\), no es simétrico respecto del origen. La comparación entre \(f(-x)\) y \(f(x)\) que exige el §2.3 ni siquiera es posible para \(x > 0\), y la paridad queda descartada de antemano.
El segundo es el de \(\frac{1}{x}\), cuya monotonía se declara por separado en cada rama, \((-\infty, 0)\) y \((0, \infty)\), y no sobre todo su dominio. No es un descuido. La función es decreciente en cada rama, pero no es decreciente en \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\): con \(x_1 = -1\) y \(x_2 = 1\) se tiene \(x_1 < x_2\) y, sin embargo, \(f(x_1) = -1 < 1 = f(x_2)\). Tampoco es creciente, porque con \(x_1 = -1\) y \(x_2 = -\frac{1}{2}\) se tiene \(f(x_1) = -1 > -2 = f(x_2)\). La definición de monotonía del §2.3 pide un intervalo, y \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) no lo es: le falta justamente el punto que separa las dos ramas. Lo que ocurre cerca de ese punto es el tema del resto de la sección.
Recordatorio. Seis prototipos: \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(|x|\), \(\sqrt{x}\) y \(\frac{1}{x}\). La monotonía se declara en intervalos; \(\frac{1}{x}\) es decreciente en cada rama por separado, pero no en todo su dominio.
§2. Crecimiento sin cota: la asíntota vertical¶
De las seis funciones del catálogo, cinco no tienen ningún punto "prohibido" en medio de su dominio cerca del cual pueda ocurrir algo inusual. La excepción es \(\frac{1}{x}\), en el único punto que su dominio excluye, \(x = 0\). Preguntémonos con precisión qué le pasa a \(\frac{1}{x}\) cuando \(x\) se acerca a ese punto sin poder alcanzarlo.
La respuesta intuitiva, "\(\frac{1}{x}\) se hace cada vez más grande", necesita la misma clase de rigor que recibió en el §1.1 la idea de que \(x\) está cerca de \(a\): allí, "cerca" se tradujo en la condición \(|x - a| < \epsilon\). Aquí hay que traducir qué significa "hacerse arbitrariamente grande".
Definición. Sean \(f\) una función y \(a \in \mathbb{R}\) tales que, para todo \(\delta > 0\), hay algún \(x \in \operatorname{Dom}(f)\) con \(a < x < a + \delta\). Decimos que \(f(x)\) crece sin cota cuando \(x\) tiende a \(a\) por la derecha, y escribimos \(x \to a^+\), si
Del mismo modo, \(f(x)\) decrece sin cota cuando \(x \to a^+\) si la conclusión es \(f(x) < -M\), y las versiones por la izquierda, \(x \to a^-\), se obtienen cambiando la condición \(a < x < a + \delta\) por \(a - \delta < x < a\). Si ocurre cualquiera de estas cuatro situaciones, la recta vertical \(x = a\) se llama asíntota vertical de \(f\).
La definición es paralela a la de entorno del §1.1. Allí la idea era "para todo margen \(\epsilon\), hay un intervalo donde la distancia a \(a\) es menor que ese margen"; aquí es "para toda cota \(M\), por grande que sea, hay un intervalo a la derecha de \(a\) donde \(f\) ya la supera". Una mide la cercanía a un valor fijo; la otra dice que no hay valor fijo posible, porque \(f\) sobrepasa cualquier techo que se proponga.
Proposición. \(\frac{1}{x}\) crece sin cota cuando \(x \to 0^+\).
Demostración. Sea \(M > 0\) cualquiera, y elijamos \(\delta = \frac{1}{M}\). Si \(0 < x < \frac{1}{M}\), multiplicamos esta desigualdad por el número positivo \(\frac{M}{x}\), lo que conserva su sentido (§1.7), y obtenemos \(M < \frac{1}{x}\). Hemos probado que \(0 < x < \delta\) implica \(\frac{1}{x} > M\). Como \(M\) era cualquiera, se cumple la definición. \(\blacksquare\)
El valor \(\delta = \frac{1}{M}\) no sale de la nada: es lo que se obtiene al resolver la desigualdad \(\frac{1}{x} > M\) para \(x > 0\), con los métodos del §1.7, y elegir \(\delta\) en el punto exacto donde la desigualdad empieza a cumplirse.
Recordatorio. "\(f\) crece sin cota cuando \(x \to a^+\)" significa que, para toda cota \(M\), hay un intervalo \((a, a + \delta)\) donde \(f\) ya la supera. La recta \(x = a\) se llama entonces asíntota vertical.
§3. Aproximación en el infinito: la asíntota horizontal¶
Hay un segundo fenómeno en el otro extremo del dominio de \(\frac{1}{x}\): qué ocurre cuando la propia \(x\) crece sin cota. La pregunta se invierte respecto de la anterior, porque ya no es la variable la que se acerca a un punto prohibido, sino la que se aleja indefinidamente. Y la respuesta también se invierte: \(f(x)\) no crece sin cota, sino que se acerca cada vez más a un valor fijo.
Definición. Sea \(f\) una función definida para todo \(x\) mayor que cierto número. Decimos que \(f(x)\) se aproxima a un real \(L\) cuando \(x\) crece sin cota, y escribimos \(x \to +\infty\), si
Si esto ocurre, la recta horizontal \(y = L\) se llama asíntota horizontal de \(f\). La versión para \(x \to -\infty\) se obtiene cambiando \(x > N\) por \(x < -N\).
El símbolo \(+\infty\) no es un número: la escritura \(x \to +\infty\) es una abreviatura de "\(x\) crece sin cota", y toda la definición habla solo de números reales \(N\) y \(\epsilon\). Esta definición reutiliza sin cambios la distancia \(|f(x) - L| < \epsilon\) del entorno del §1.1; lo único nuevo es la hipótesis que la activa, \(x > N\), en lugar de que \(x\) esté en un intervalo acotado.
Proposición. \(\frac{1}{x}\) se aproxima a \(0\) cuando \(x \to +\infty\).
Demostración. Sea \(\epsilon > 0\) cualquiera, y elijamos \(N = \frac{1}{\epsilon}\). Si \(x > \frac{1}{\epsilon}\), entonces \(x > 0\), y multiplicando por el número positivo \(\frac{\epsilon}{x}\) se obtiene \(\epsilon > \frac{1}{x}\). Además \(\frac{1}{x} > 0\), de modo que
Hemos probado que \(x > N\) implica \(\left|\frac{1}{x} - 0\right| < \epsilon\), para cualquier \(\epsilon > 0\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. "\(f(x)\) se aproxima a \(L\) cuando \(x \to +\infty\)" significa que, para todo margen \(\epsilon\), hay un umbral \(N\) a partir del cual \(f\) está a distancia menor que \(\epsilon\) de \(L\). La recta \(y = L\) se llama entonces asíntota horizontal.
§4. Los casos restantes, por simetría¶
Del comportamiento de \(\frac{1}{x}\) quedan dos casos: qué ocurre cuando \(x \to 0^-\) y cuando \(x \to -\infty\). No hace falta repetir los argumentos desde cero, porque \(\frac{1}{x}\) es impar, y la imparidad traduce cada caso de la derecha en el caso correspondiente de la izquierda.
Si \(-\delta < x < 0\), el número \(t = -x\) cumple \(0 < t < \delta\). Con \(\delta = \frac{1}{M}\), la proposición del §2 da \(\frac{1}{t} > M\), y por la imparidad \(\frac{1}{x} = -\frac{1}{t} < -M\). Por lo tanto \(\frac{1}{x}\) decrece sin cota cuando \(x \to 0^-\), y la recta \(x = 0\) es asíntota vertical también por la izquierda, con el signo invertido.
Del mismo modo, si \(x < -N\) con \(N = \frac{1}{\epsilon}\), el número \(t = -x\) cumple \(t > N\), y la proposición del §3 da \(\left|\frac{1}{t}\right| < \epsilon\); como \(\left|\frac{1}{x}\right| = \left|-\frac{1}{t}\right| = \left|\frac{1}{t}\right|\), también \(\left|\frac{1}{x} - 0\right| < \epsilon\). La recta \(y = 0\) es asíntota horizontal también hacia la izquierda, con el mismo valor \(L = 0\). No es casual: si una función impar se aproxima a \(L\) hacia la derecha, se aproxima a \(-L\) hacia la izquierda, y aquí \(L = -L = 0\).
Ninguna de las otras cinco funciones del catálogo tiene asíntotas. Sus dominios no excluyen ningún punto interior, y cuando \(x\) crece o decrece sin cota, sus valores tampoco se estabilizan: \(x\) y \(x^3\) crecen sin cota hacia la derecha y decrecen sin cota hacia la izquierda, \(x^2\) y \(|x|\) crecen sin cota en ambas direcciones, y \(\sqrt{x}\) crece sin cota hacia la derecha, su único extremo no acotado. Dentro de este catálogo, \(\frac{1}{x}\) es la única que muestra los dos fenómenos, el de un punto excluido cerca del cual la función se dispara y el de una función que se estabiliza en torno a un valor cuando la variable se aleja.
Recordatorio. La imparidad de \(\frac{1}{x}\) traduce lo que ocurre a la derecha de \(0\) y hacia \(+\infty\) en lo que ocurre a la izquierda de \(0\) y hacia \(-\infty\), sin repetir la demostración: cambia el signo, no la existencia de la asíntota.
Lo que este catálogo deja entrever, más allá del caso de \(\frac{1}{x}\), es que el infinito aparece en dos formas que conviene no confundir. Una es el infinito como destino: qué le pasa a \(f(x)\) cuando la propia \(x\) se aleja sin cota, una pregunta sobre el largo plazo. La otra es el infinito como síntoma local: una función definida cerca de un punto, salvo en el punto mismo, cuyos valores se disparan a medida que \(x\) se aproxima a él. En ninguna de las dos \(f\) "alcanza" el infinito: ningún \(M\) ni ningún \(N\), por grandes que sean, agotan la definición. Ambas son afirmaciones sobre todo umbral finito.
Y en el fondo son el mismo fenómeno. Las dos son casos particulares de una noción única, la de límite, que esta sección construyó dos veces sin nombrarla, una con \(M\) y \(\delta\), otra con \(\epsilon\) y \(N\). Nombrarla ahora no cambia ninguna definición ni ninguna demostración: lo que definimos son, exactamente, los límites "\(f(x)\) tiende a \(+\infty\) cuando \(x \to a^+\)" y "\(f(x)\) tiende a \(L\) cuando \(x \to +\infty\)", y las variantes que obtuvimos por simetría. Lo que queda fuera de este libro, y corresponde con toda propiedad al Cálculo, es la teoría general: el límite cuando \(x\) se acerca a \(a\) por ambos lados a la vez, las reglas que permiten calcular el límite de una suma, un producto o un cociente a partir de los límites de las partes sin repetir cada vez un argumento como los de esta sección, y la noción de continuidad que se apoya en todo ello. Este libro construyó el concepto en los casos que necesitaba; sistematizarlo es una obra distinta.
Con la galería de prototipos analizada, incluido su comportamiento en los bordes del dominio, el capítulo dispone de la materia prima para el paso siguiente: transformar estas seis funciones, desplazándolas, estirándolas y reflejándolas, para obtener una familia mucho más amplia sin repetir el análisis desde cero. Ese es el tema de la sección siguiente.