Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.4 — El Catálogo de Funciones Prototipo y Comportamiento Asintótico¶
Antes de transformar una función, hace falta conocer la que se transforma.
El vocabulario reunido en el §2.3 —dominio, imagen, ceros, signo, simetría, monotonía— fue construido en abstracto, aplicable a cualquier función. Esta sección lo pone a trabajar sobre un puñado reducido de funciones concretas, elegidas no por su dificultad sino por lo contrario: son, de todo el universo de funciones reales, las más simples posibles dentro de cada familia, y por eso mismo las que servirán de base, en el §2.5, para construir por transformación una cantidad mucho mayor de funciones sin repetir el análisis desde cero. Una de ellas, además, exhibirá un fenómeno que hasta ahora el libro solo mencionó de pasada, en el §1.9, sin darle nombre ni precisión: el de una función cuyos valores crecen sin cota.
§1. La galería elemental¶
Seis funciones componen el catálogo básico de este capítulo. Cada una se analiza con las herramientas ya fijadas en el §2.2 y el §2.3.
| Función | Dominio | Imagen | Paridad | Monotonía |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=x\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | Impar | Creciente en \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x)=x^2\) | \(\mathbb{R}\) | \([0,\infty)\) | Par | Decreciente en \((-\infty,0]\), creciente en \([0,\infty)\) |
| \(f(x)=x^3\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | Impar | Creciente en \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x)=\vert x\vert\) | \(\mathbb{R}\) | \([0,\infty)\) | Par | Decreciente en \((-\infty,0]\), creciente en \([0,\infty)\) |
| \(f(x)=\sqrt{x}\) | \([0,\infty)\) | \([0,\infty)\) | Ninguna | Creciente en \([0,\infty)\) |
| \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | Impar | Decreciente en \((-\infty,0)\) y en \((0,\infty)\), por separado |
Figura 2.1 — Los seis prototipos de la galería elemental.
Ninguno de estos seis renglones exige demostración nueva: cada uno es una aplicación directa de definiciones ya fijadas. El dominio de \(\sqrt{x}\) y el de \(1/x\) se calculan exactamente como en el §2.2 —raíz par no negativa, denominador no nulo—; la paridad de \(x^2\), \(x^3\) y \(1/x\) se verifica como en el ejemplo del §2.3 §4; la monotonía de \(x^2\) ya fue demostrada allí mismo. Dos observaciones, sin embargo, merecen destacarse por lo que anticipan.
La primera es sobre \(\sqrt{x}\): no es par ni impar, y la razón no es un detalle menor sino estructural —su dominio, \([0,\infty)\), ni siquiera es simétrico respecto del origen, de modo que la comparación \(f(-x)\) frente a \(f(x)\) exigida por la definición del §2.3 §4 no está disponible para ningún \(x>0\). La ausencia de paridad no requiere aquí verificación: queda descartada de antemano por el dominio mismo.
La segunda es sobre \(1/x\): a diferencia de las otras cinco, su monotonía se declara por separado en cada rama, \((-\infty,0)\) y \((0,\infty)\), y no como una monotonía única sobre todo \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Esto no es un descuido de redacción. Tómense \(x_1=-1\) y \(x_2=1\): se tiene \(x_1<x_2\), pero \(f(x_1)=-1<1=f(x_2)\), lo que parecería sugerir crecimiento; sin embargo, tómense \(x_1=-1\) y \(x_2=-0{,}5\): también \(x_1<x_2\), pero ahora \(f(x_1)=-1<-2=f(x_2)\) es falso, ya que \(f(x_2)=-2<-1=f(x_1)\). La función decrece en cada rama por separado, pero comparar puntos de ramas distintas no produce un patrón consistente, precisamente porque el \(0\) —el punto que separaría ambas ramas— ni siquiera pertenece al dominio. Este comportamiento en los bordes del dominio es exactamente lo que el resto de la sección analiza con precisión.
Recordatorio. Seis prototipos: \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(\vert x\vert\), \(\sqrt{x}\), \(1/x\). La monotonía se declara solo dentro de intervalos donde tiene sentido comparar; \(1/x\) no es monótona en todo su dominio, solo en cada rama por separado.
§2. Crecimiento sin cota: la asíntota vertical¶
De las seis funciones del catálogo, cinco tienen un comportamiento previsible en los extremos de su dominio: como el propio dominio ya lo advierte, no hay ningún punto "prohibido" cerca del cual algo inusual pueda ocurrir. La excepción es \(1/x\), precisamente en el único punto excluido de su dominio, \(x=0\). Vale la pena preguntar, con toda precisión, qué le pasa a \(1/x\) cuando \(x\) se acerca a ese punto sin poder alcanzarlo.
La respuesta intuitiva —"\(1/x\) se hace cada vez más grande"— necesita la misma clase de rigor que ya recibió, en el §1.1 §8, la afirmación de que \(x\) "se acerca" a \(a\): allí, "acercarse" se tradujo en la condición precisa \(|x-a|<\epsilon\). Aquí corresponde traducir, con el mismo cuidado, qué significa "hacerse arbitrariamente grande".
Definición. Sea \(f\) una función y \(a\in\mathbb{R}\) tal que para todo \(\delta>0\) existe algún \(x\in\text{Dom}(f)\) con \(a<x<a+\delta\). Se dice que \(f(x)\) crece sin cota cuando \(x\to a^+\) si
Cuando esto ocurre, la recta vertical \(x=a\) se llama asíntota vertical de \(f\).
La estructura de esta definición es deliberadamente paralela a la del entorno del §1.1 §8: allí, "para todo margen de error \(\epsilon\), hay un intervalo alrededor de \(a\) donde \(f\) cae dentro de ese margen"; aquí, "para toda cota \(M\), por grande que sea, hay un intervalo a la derecha de \(a\) donde \(f\) ya la supera". Una mide la cercanía a un valor fijo; la otra, la imposibilidad de que exista tal valor fijo, porque \(f\) sobrepasa cualquier techo que se proponga.
Proposición. \(1/x\) crece sin cota cuando \(x\to 0^+\).
Demostración. Sea \(M>0\) arbitrario. Elíjase \(\delta=1/M\). Si \(0<x<\delta=1/M\), entonces, multiplicando ambos miembros de \(x<1/M\) por \(M/x\) —positivo, pues \(x>0\) y \(M>0\)— se obtiene \(Mx\cdot\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{M}\cdot\dfrac{M}{x}\), es decir \(M<\dfrac{1}{x}\). Luego \(x<\delta \implies 1/x>M\), que es exactamente la condición requerida. Como \(M>0\) era arbitrario, la definición se cumple para todo \(M\). \(\blacksquare\)
El valor \(\delta=1/M\) no es magia: es, literalmente, resolver la desigualdad \(1/x>M\) para \(x\) —el mismo tipo de análisis de signos y desigualdades del §1.7—, y elegir \(\delta\) como el punto exacto donde esa desigualdad empieza a cumplirse.
Recordatorio. "\(f\) crece sin cota cuando \(x\to a^+\)" significa: para toda cota \(M\), hay un intervalo \((a,a+\delta)\) donde \(f\) ya la supera. La recta \(x=a\) se llama entonces asíntota vertical. Esta definición es la contraparte, para cotas arbitrariamente grandes, del entorno de distancias arbitrariamente pequeñas del §1.1.
§3. Aproximación en el infinito: la asíntota horizontal¶
Hay un segundo fenómeno, igual de notable, en el otro extremo del dominio de \(1/x\): qué ocurre cuando \(x\) mismo crece sin cota. Aquí la pregunta se invierte respecto de la anterior —ya no es la variable la que se acerca a un punto prohibido, sino la variable la que crece sin límite—, y la respuesta, en este caso, no es que \(f(x)\) también crezca sin cota, sino lo contrario: que se acerca, cada vez más, a un valor fijo.
Definición. Sea \(f\) una función definida para todo \(x\) mayor que algún valor. Se dice que \(f(x)\) se aproxima a un real \(L\) cuando \(x\to+\infty\) si
Cuando esto ocurre, la recta horizontal \(y=L\) se llama asíntota horizontal de \(f\).
Nótese que esta segunda definición sí reutiliza, sin modificarla, la desigualdad de distancia \(|f(x)-L|<\epsilon\) del entorno ya fijado en el §1.1 §8: lo único nuevo es la hipótesis que la activa, \(x>N\), en lugar de \(x\) perteneciendo a un intervalo acotado. Es la aproximación misma la que ahora depende de qué tan lejos, sobre el eje \(x\), se esté dispuesto a llegar.
Proposición. \(1/x\) se aproxima a \(0\) cuando \(x\to+\infty\).
Demostración. Sea \(\epsilon>0\) arbitrario. Elíjase \(N=1/\epsilon\). Si \(x>N=1/\epsilon\), entonces, por el mismo argumento de la proposición anterior aplicado en sentido inverso, \(1/x<\epsilon\). Como además \(x>0\), se tiene \(1/x>0\), de modo que
Luego \(x>N \implies |1/x-0|<\epsilon\), para todo \(\epsilon>0\) arbitrario. \(\blacksquare\)
Recordatorio. "\(f(x)\) se aproxima a \(L\) cuando \(x\to+\infty\)" significa: para todo margen \(\epsilon\), hay un umbral \(N\) a partir del cual \(f\) ya está a distancia menor que \(\epsilon\) de \(L\). La recta \(y=L\) se llama entonces asíntota horizontal.
§4. Los casos restantes, por simetría¶
Quedan, del comportamiento completo de \(1/x\), dos casos sin analizar: qué ocurre cuando \(x\to0^-\) y cuando \(x\to-\infty\). Repetir para ambos el aparato \(M\)-\(\delta\) o \(\epsilon\)-\(N\) desde cero sería redundante: \(1/x\) ya se estableció como función impar en el §1, y esa simetría —exactamente como ya ocurrió con las rectas paralelas al final del §1.10, o con el caso \(x_1=x_2\) de la fórmula de distancia en el §1.8— permite deducir un caso del otro sin repetir la demostración completa.
Si \(x\to0^-\), escríbase \(x=-t\) con \(t\to0^+\). Por la imparidad, \(f(x)=f(-t)=-f(t)\), y como \(f(t)=1/t\) crece sin cota cuando \(t\to0^+\) —por la proposición del §2—, su opuesto \(-f(t)\) decrece sin cota: para toda cota \(M>0\), existe el mismo \(\delta=1/M\) tal que \(-\delta<x<0 \implies 1/x<-M\). La recta \(x=0\) es, entonces, asíntota vertical también por la izquierda, con signos invertidos respecto de la derecha.
Si \(x\to-\infty\), un argumento simétrico sobre \(x\to+\infty\) da: para todo \(\epsilon>0\), existe \(N=1/\epsilon\) tal que \(x<-N \implies |1/x-0|<\epsilon\). La recta \(y=0\) es, entonces, asíntota horizontal también hacia la izquierda, y por el mismo valor \(L=0\) que hacia la derecha —una coincidencia que tampoco es casual, sino consecuencia directa de la imparidad—.
En contraste, ninguna de las otras cinco funciones del catálogo exhibe comportamiento asintótico alguno: \(x\), \(x^2\) y \(x^3\) crecen sin cota en los extremos de un dominio que ya es todo \(\mathbb{R}\), sin ningún punto prohibido cerca del cual acumularse, y \(\sqrt{x}\) hace lo mismo desde su único extremo relevante, \(x\to+\infty\). La asíntota no es, entonces, una propiedad de "las funciones que crecen mucho", sino específicamente de aquellas con un punto excluido del dominio —o con un comportamiento que se estabiliza en torno a un valor fijo cuando la variable crece sin cota—, y \(1/x\) es, dentro de este catálogo, la única que exhibe ambos fenómenos a la vez.
Recordatorio. La imparidad de \(1/x\) traduce el comportamiento a la derecha de \(0\) y hacia \(+\infty\) en el comportamiento a la izquierda de \(0\) y hacia \(-\infty\), sin repetir la demostración: \(f(-x)=-f(x)\) invierte el signo de la cota o del valor de aproximación, pero no altera su existencia.
Lo que este catálogo deja entrever, más allá del comportamiento puntual de \(1/x\), es que el infinito aparece aquí en dos formas radicalmente distintas y que conviene no confundir. Una es el infinito como destino: qué le pasa a \(f(x)\) cuando \(x\) mismo se aleja sin límite, una pregunta sobre el largo plazo de una función definida en todas partes cerca de donde se la observa. La otra es el infinito como síntoma local: una función perfectamente bien definida en un entorno de un punto, salvo exactamente en ese punto, cuyo comportamiento se dispara sin cota a medida que se lo aproxima. Ninguna de las dos formas involucra, en sentido estricto, que \(f\) "alcance" el infinito en algún lugar —ni \(M\) ni \(N\), por grandes que se elijan, agotan jamás la definición—; ambas son, más bien, afirmaciones sobre todo umbral finito, por lejano que sea.
Y sí son, en el fondo, el mismo fenómeno: ambas formas son casos particulares de una noción única, la de límite, que este catálogo ya construyó dos veces —una con \(M\)-\(\delta\), otra con \(\epsilon\)-\(N\)— sin nombrarla. Nombrarla ahora no cambia una sola definición ni una sola demostración de las que preceden: \(M\)-\(\delta\) y \(\epsilon\)-\(N\) son, exactamente y sin ajuste alguno, la definición de "\(f(x)\) tiende a \(L\)" (o a \(\pm\infty\)) según el punto de acumulación esté en \(\mathbb{R}\) o en el infinito. Lo que sí queda fuera de este libro —y corresponde, con toda propiedad, al de Cálculo I— es la teoría general del límite: el álgebra que permite calcular el límite de una suma, un producto o un cociente a partir de los límites de las partes, sin repetir cada vez el argumento \(\varepsilon\)-\(\delta\) desde cero; y la extensión de la definición a funciones que no son monótonas, donde la aproximación de un solo lado —como la que bastó aquí, gracias a la monotonía de \(1/x\)— ya no alcanza. Este libro construyó el concepto en los únicos casos que necesitaba; sistematizarlo es una obra distinta.
Con la galería de prototipos ya analizada, incluido su comportamiento en los bordes del dominio, el capítulo dispone de la materia prima necesaria para el paso siguiente: transformar estas seis funciones —desplazarlas, estirarlas, reflejarlas— para generar, sin repetir el análisis desde cero, una familia mucho más amplia de funciones. Ese es el tema de la sección siguiente.