Capítulo 6 - Funciones Trigonométricas de Ángulos¶
6.4 - Ley de los Senos¶
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos; y donde el seno no distingue, el triángulo tampoco decide.
Hasta aquí, la trigonometría del capítulo trabajó con un triángulo especial, el rectángulo, o con ángulos aislados sobre la circunferencia. Esta sección y la siguiente pasan a un triángulo cualquiera. Para no repetir la explicación en cada enunciado, se fija una notación: en un triángulo \(ABC\), las medidas de los ángulos en los vértices \(A\), \(B\) y \(C\) se denotan \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\), y las longitudes de los lados opuestos, \(a=BC\), \(b=AC\) y \(c=AB\). Por (G1) del §6.2, \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\), de modo que cada ángulo pertenece a \((0,\pi)\) y, por el §6.3, tiene seno positivo.
Además de las premisas (G1) a (G4) del §6.2, las demostraciones de esta sección y la siguiente usan dos hechos elementales más. El primero, (G5), es que el área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente; se trata del área de una región poligonal, que no requiere la noción de área para regiones de borde curvo que el §6.1 declaró pendiente. El segundo, (G6), es el criterio de existencia y unicidad ángulo-lado-ángulo: dados un segmento y dos ángulos positivos cuya suma es menor que \(\pi\), existe un triángulo que los tiene como lado y ángulos adyacentes, y es único salvo congruencia.
§1. La altura y la ley de los senos¶
La demostración descansa en calcular de dos maneras la altura de un triángulo. El único cuidado es que el pie de la altura puede caer fuera del lado, y es allí donde el §6.3, que dio sentido al seno de un ángulo obtuso, resulta necesario.
Lema (altura). En un triángulo \(ABC\), la distancia \(h\) de \(C\) a la recta \(AB\) verifica
Demostración. Sea \(D\) el pie de la perpendicular bajada desde \(C\) a la recta \(AB\), de modo que \(h=CD\). Se distinguen tres casos según el ángulo \(\alpha\). Si \(\alpha<\pi/2\), el punto \(D\) está en la semirrecta \(AB\) y es distinto de \(A\), y el triángulo \(ACD\) es rectángulo en \(D\), con hipotenusa \(b\) y ángulo \(\alpha\) en \(A\); por el teorema del §6.2, \(h=b\sin\alpha\). Si \(\alpha=\pi/2\), entonces \(D=A\) y \(h=b=b\sin\dfrac{\pi}{2}\). Si \(\alpha>\pi/2\), el punto \(D\) queda en la prolongación de \(BA\) más allá de \(A\), y el triángulo \(ACD\) es rectángulo en \(D\) con ángulo agudo \(\pi-\alpha\) en \(A\), por ser este el suplemento de \(\alpha\); entonces \(h=b\sin(\pi-\alpha)\), y por el lema de reducción del §6.3, \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\). En los tres casos \(h=b\sin\alpha\). El mismo argumento con los papeles de \(A\) y \(B\) intercambiados da \(h=a\sin\beta\). \(\blacksquare\)
Figura 6.7 — La altura \(h\) desde \(C\). Si \(\alpha\) es agudo, \(h=b\sin\alpha\) por el §6.2; si es obtuso, el triángulo rectángulo \(ADC\) tiene ángulo \(\pi-\alpha\) en \(A\), y \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\) por el §6.3.
Teorema (ley de los senos). En todo triángulo \(ABC\), $\(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\)$
Demostración. Por el lema, \(b\sin\alpha=a\sin\beta\). Como \(\alpha\) y \(\beta\) pertenecen a \((0,\pi)\), sus senos son positivos y se puede dividir por \(\sin\alpha\sin\beta\), lo que da \(\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}\). Aplicando el lema a la altura desde \(A\) sobre la recta \(BC\), se obtiene análogamente \(c\sin\beta=b\sin\gamma\), y de allí \(\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}\). \(\blacksquare\)
La ley dice que la razón entre un lado y el seno de su ángulo opuesto es una constante del triángulo. Es, de hecho, el diámetro de la circunferencia que pasa por los tres vértices, un hecho cuya demostración exige el teorema del ángulo inscrito de la geometría euclidiana y queda, como (G1) a (G6), fuera del alcance de este libro.
Corolario (área). El área \(S\) de un triángulo \(ABC\) es $\(S=\tfrac12 bc\sin\alpha=\tfrac12 ac\sin\beta=\tfrac12 ab\sin\gamma\)$
Demostración. Por (G5), \(S=\tfrac12 c h\) con \(h\) la altura sobre el lado \(AB\), y por el lema \(h=b\sin\alpha\), de donde \(S=\tfrac12 bc\sin\alpha\). Las otras dos igualdades se obtienen tomando como base los otros lados. \(\blacksquare\)
Recordatorio. Ley de los senos: \(\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}\). Se demuestra calculando la altura desde un vértice de dos maneras, con \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\) para el caso obtuso. Área: \(S=\tfrac12 bc\sin\alpha\).
§2. Resolución con dos ángulos y un lado¶
Cuando se conocen dos ángulos y un lado cualquiera, el triángulo queda determinado. Por (G6) existe y es único salvo congruencia, siempre que los dos ángulos sumen menos que \(\pi\); y la ley de los senos, junto con \(\gamma=\pi-\alpha-\beta\), calcula todo lo que falta. Como en el §6.2, los ángulos se dan en grados o en radianes según convenga, con la calculadora en el modo correspondiente.
Ejemplo. Sea un triángulo con \(\alpha=40^\circ\), \(\beta=60^\circ\) y \(a=10\). El tercer ángulo es \(\gamma=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ\). Por la ley de los senos, \(b=\dfrac{a\sin\beta}{\sin\alpha}=\dfrac{10\sin60^\circ}{\sin40^\circ}\approx13{,}47\) y \(c=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}=\dfrac{10\sin80^\circ}{\sin40^\circ}\approx15{,}32\). Como comprobación, el lado mayor \(c\) se opone al ángulo mayor \(\gamma\), y el menor \(a\) al menor \(\alpha\).
§3. El caso ambiguo: dos lados y un ángulo no comprendido¶
Los datos más engañosos son dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. Se conocen \(\alpha\), el lado \(b=AC\) adyacente a \(\alpha\) y el lado \(a=BC\) opuesto a \(\alpha\), y se buscan los triángulos que los cumplen. La ley de los senos da \(\sin\beta=\dfrac{b\sin\alpha}{a}\), y el problema aparece de inmediato: hay, en general, dos ángulos con el mismo seno, \(\beta\) y \(\pi-\beta\). La proposición siguiente determina, sin excepción, cuántos triángulos hay.
Proposición (caso LLA). Sean \(\alpha\in(0,\pi)\) y \(a,b>0\), y sea \(h=b\sin\alpha\). El número de triángulos, salvo congruencia, con ángulo \(\alpha\) en \(A\), lado \(AC=b\) y lado \(BC=a\) es el indicado en la tabla:
| Ángulo \(\alpha\) | Relación entre \(a\), \(h\) y \(b\) | Triángulos |
|---|---|---|
| agudo | \(a<h\) | \(0\) |
| agudo | \(a=h\) | \(1\) (rectángulo en \(B\)) |
| agudo | \(h<a<b\) | \(2\) |
| agudo | \(a\ge b\) | \(1\) |
| recto u obtuso | \(a>b\) | \(1\) |
| recto u obtuso | \(a\le b\) | \(0\) |
Demostración. Sea \(s=\dfrac{h}{a}=\dfrac{b\sin\alpha}{a}\). Si existe un triángulo con esos datos, su ángulo \(\beta\) en \(B\) pertenece a \((0,\pi-\alpha)\) y, por la ley de los senos, cumple \(\sin\beta=s\). Recíprocamente, si \(\beta\in(0,\pi-\alpha)\) cumple \(\sin\beta=s\), por (G6) existe un triángulo con ángulos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\pi-\alpha-\beta\), y con el lado opuesto a \(\alpha\) igual a \(a\); por la ley de los senos, su lado opuesto a \(\beta\) mide \(\dfrac{a\sin\beta}{\sin\alpha}=b\), así que es uno de los buscados. Como dos triángulos con el mismo \(\beta\) son congruentes por (G6), los triángulos buscados corresponden uno a uno a los \(\beta\in(0,\pi-\alpha)\) con \(\sin\beta=s\), y se trata de contarlos.
Las soluciones de \(\sin\beta=s\) en \((0,\pi)\). Si \(s>1\) no hay ninguna, porque \(\sin\beta\le1\). Si \(s=1\) hay una sola, \(\beta=\pi/2\). Si \(0<s<1\), los puntos de la circunferencia unitaria con ordenada \(s\) son \(\big(\pm\sqrt{1-s^2}, s\big)\), uno en el cuadrante I y otro en el II. Por la sobreyectividad de \(W\) (§5.2) y el lema del §6.3 §3, el primero es \(W(\beta_1)\) con \(\beta_1\in(0,\pi/2)\), y por el lema de reducción del §6.3 el segundo es \(W(\pi-\beta_1)\). Como \(W\) es inyectiva en \([0,2\pi)\) y los \(\beta\in(0,\pi)\) tienen \(W(\beta)\) con ordenada positiva, las soluciones en \((0,\pi)\) son exactamente \(\beta_1\) y \(\pi-\beta_1\).
La restricción \(\beta<\pi-\alpha\). Si \(s=1\), el valor \(\beta=\pi/2\) es admisible si y solo si \(\alpha<\pi/2\). Si \(0<s<1\), hay que decidir cuáles de \(\beta_1\) y \(\beta_2=\pi-\beta_1\) son admisibles. La condición \(\beta_2<\pi-\alpha\) equivale a \(\alpha<\beta_1\); esto exige \(\alpha<\pi/2\) y, como el seno es estrictamente creciente en \([0,\pi/2]\), propiedad cuya demostración, con las fórmulas de suma a producto, se da más adelante [§7.3 §4], equivale a \(\sin\alpha<\sin\beta_1=\dfrac{b}{a}\sin\alpha\), es decir, a \(a<b\). Para \(\beta_1\): si \(\alpha\le\pi/2\) se tiene \(\beta_1<\pi/2\le\pi-\alpha\), luego es siempre admisible; si \(\alpha>\pi/2\), entonces \(\pi-\alpha\in(0,\pi/2)\) y \(\beta_1<\pi-\alpha\) equivale a \(\sin\beta_1<\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\), es decir, a \(b<a\).
Recuento. Para \(\alpha\) agudo, \(s>1\) equivale a \(a<h\) y no hay solución; \(s=1\) equivale a \(a=h\) y hay una; y si \(a>h\), \(\beta_1\) es siempre admisible y \(\beta_2\) lo es solo si \(a<b\), lo que da dos soluciones cuando \(h<a<b\) y una cuando \(a\ge b\). Para \(\alpha=\pi/2\) se tiene \(h=b\): si \(a<b\) no hay solución, si \(a=b\) tampoco, porque \(\beta=\pi/2\) no es admisible, y si \(a>b\) solo \(\beta_1\) lo es. Para \(\alpha>\pi/2\), \(\beta_2\) nunca es admisible y \(\beta_1\) lo es exactamente cuando \(b<a\), y en ese caso \(a>b>h\) y \(s<1\) automáticamente. \(\blacksquare\)
La geometría de la proposición se ve directamente: el vértice \(B\) está sobre el lado libre del ángulo \(\alpha\) y a distancia \(a\) de \(C\), es decir, en la intersección de esa semirrecta con la circunferencia de centro \(C\) y radio \(a\). Esa circunferencia corta a la semirrecta en dos puntos cuando \(h<a<b\), y los dos triángulos que resultan son isósceles respecto de \(C\), de modo que sus ángulos en \(B\) son \(\beta\) y \(\pi-\beta\).
Figura 6.8 — El caso ambiguo con \(h<a<b\). Los puntos \(B_1\) y \(B_2\) están a distancia \(a\) de \(C\) sobre la semirrecta; los ángulos en \(B_1\) y \(B_2\) son \(\pi-\beta\) y \(\beta\), con el mismo seno.
Ejemplos. Sea \(\alpha=30^\circ\), \(b=10\) y \(a=6\). Entonces \(h=10\sin30^\circ=5\), y como \(5<6<10\) hay dos triángulos. Es \(\sin\beta=\dfrac{5}{6}\), de donde \(\beta_1\approx56{,}44^\circ\) y \(\beta_2\approx123{,}56^\circ\), valores que da la tecla de seno inverso de la calculadora. [Ese cálculo se justifica en el §7.4 §3.] En el primer triángulo, \(\gamma_1=180^\circ-30^\circ-56{,}44^\circ\approx93{,}56^\circ\) y \(c_1=\dfrac{6\sin\gamma_1}{\sin30^\circ}\approx11{,}98\); en el segundo, \(\gamma_2\approx26{,}44^\circ\) y \(c_2\approx5{,}34\).
Con \(\alpha=50^\circ\), \(b=10\) y \(a=6\), la altura es \(h=10\sin50^\circ\approx7{,}66>6=a\): la circunferencia de radio \(6\) no llega a la semirrecta, y no hay triángulo.
Con \(\alpha=120^\circ\), \(a=12\) y \(b=5\), el ángulo es obtuso y \(a>b\), luego hay exactamente uno: \(\sin\beta=\dfrac{5\sin120^\circ}{12}\approx0{,}3608\), \(\beta\approx21{,}15^\circ\), \(\gamma\approx38{,}85^\circ\) y \(c=\dfrac{12\sin\gamma}{\sin120^\circ}\approx8{,}69\). El otro valor posible, \(\pi-\beta\approx158{,}85^\circ\), no cabe junto a un ángulo de \(120^\circ\).
Recordatorio. LLA: con \(h=b\sin\alpha\), si \(\alpha\) es agudo hay \(0\), \(1\), \(2\) o \(1\) triángulos según sea \(a<h\), \(a=h\), \(h<a<b\) o \(a\ge b\); si \(\alpha\) es recto u obtuso, hay uno si \(a>b\) y ninguno en otro caso.
La ambigüedad del caso LLA es un fenómeno que el libro ya conoce, con otro rostro. En el §2.7, \(f(x)=x^2\) perdía el signo de su entrada: dos causas distintas convergían en un mismo efecto, y ningún procedimiento podía después distinguir cuál había ocurrido. Aquí ocurre lo mismo con el seno: \(\beta\) y \(\pi-\beta\) tienen el mismo, y conocer \(\sin\beta\) no basta para saber cuál de los dos ángulos se buscaba. El seno no es inyectivo en \((0,\pi)\), y la ley de los senos, que solo dice algo sobre senos, hereda exactamente esa pérdida de información. Queda abierta la pregunta de si existe, para los triángulos, una relación que hable de los ángulos por medio de una función que sí distinga los ángulos entre \(0\) y \(\pi\).
Esa relación existe, y es el tema de la sección siguiente: la ley de los cosenos, que resuelve los dos casos que la ley de los senos no puede tratar, y que hace desaparecer la ambigüedad.