Capítulo 4 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas¶
4.1 - Funciones Exponenciales¶
Contar con exponentes racionales fue, hasta aquí, aritmética disfrazada de álgebra. Lo que sigue es el paso en que esa aritmética se convierte, sin perder ni un ápice de precisión, en análisis.
El Capítulo 1 dejó construida, con todo el rigor que exige este libro, la potenciación de exponente racional: para \(a\in\mathbb{R}\) y \(r=m/n\in\mathbb{Q}\), el símbolo \(a^r\) quedó definido vía radicales, y se demostró —no se supuso— que ese valor no depende de qué representación de la fracción \(m/n\) se use. Esta sección no repite esa construcción: la usa como punto de partida y se pregunta, precisamente, por lo que \(a^r\) no puede hacer todavía —a saber, aceptar cualquier exponente real, y no solo los racionales— para luego resolverlo.
§1. Lo ya construido, y la pregunta que deja abierta¶
Recuérdese —sin volver a demostrarlo, por economía y porque ya está probado— que para \(a\in\mathbb{R}\), \(n\in\mathbb{N}\) y \(m\in\mathbb{Z}\), el símbolo \(a^{m/n}\) fue definido en el §4 de la sección 1.2 como \(\left(a^{1/n}\right)^m\), y que esa definición exige, cuando \(n\) es par, la restricción \(a\ge 0\) —de lo contrario \(a^{1/n}\) no existe en \(\mathbb{R}\)—. Se probó además, en esa misma sección, que el valor de \(a^{m/n}\) no depende de qué fracción equivalente a \(m/n\) se elija para calcularlo.
Esa segunda propiedad —la independencia de la representación— es más delicada de lo que parece cuando se la mira con el objetivo puesto en este capítulo. La demostración del §1.2 supone que ambas representaciones, \(m/n\) y \(p/q\), dan lugar a potencias bien definidas; no dice qué ocurre si una de ellas no existe en \(\mathbb{R}\). Y aquí aparece el problema: un mismo número racional admite representaciones con denominador par y también con denominador impar —\(1/2\) y también, por ejemplo, \(3/6\)—, de modo que si la base \(a\) es negativa, algunas representaciones de un mismo racional producirán un real bien definido (las de índice impar) y otras, ninguno (las de índice par). El símbolo \(a^r\), para \(a<0\), no está mal definido: está definido a medias, en un subconjunto de \(\mathbb{Q}\) que depende, de manera poco natural, de cómo se haya escrito el exponente.
Para una función \(f(x)=a^x\) que aspire a tener dominio \(\mathbb{R}\) —o siquiera \(\mathbb{Q}\), como primer paso— esa situación es inadmisible. Hace falta, entonces, una condición sobre \(a\) que garantice que \(a^r\) exista para todo \(r\in\mathbb{Q}\), sin excepción y sin depender de la escritura del exponente.
§2. La condición \(a>0\) como restricción necesaria y suficiente¶
Proposición. Sea \(a\in\mathbb{R}\). El valor \(a^r\) está definido en \(\mathbb{R}\) para todo \(r\in\mathbb{Q}\) si y solo si \(a>0\); en ese caso, además, \(a^r>0\) para todo \(r\in\mathbb{Q}\).
Demostración. Se prueban por separado la suficiencia y la necesidad.
(Suficiencia: \(a>0 \implies a^r\) definido y positivo para todo \(r\in\mathbb{Q}\).) Sea \(r=m/n\in\mathbb{Q}\), con \(n\in\mathbb{N}\), en cualquier representación. Como \(a>0\), en particular \(a\ge 0\), de modo que la restricción del §1.2 §3 —necesaria solo cuando \(n\) es par— se cumple sin más, sea \(n\) par o impar. Luego \(a^{1/n}\) existe en \(\mathbb{R}\), y con él, \(a^{m/n}=(a^{1/n})^m\). Como esto vale para cualquier representación de \(r\), y el §1.2 §4 ya garantizó que el resultado no depende de cuál se use, \(a^r\) queda bien definido, sin ambigüedad, para todo \(r\in\mathbb{Q}\). En cuanto al signo: \(a^{1/n}\) es, por definición de raíz principal, no negativo, y como \(a>0\) no puede ser \(a^{1/n}=0\) —de serlo, \(a=(a^{1/n})^n=0\), contradicción—, de modo que \(a^{1/n}>0\). Una base positiva elevada a cualquier exponente entero \(m\) —positivo, negativo o nulo— permanece positiva, por las leyes de exponentes ya establecidas; luego \(a^r=(a^{1/n})^m>0\).
(Necesidad: si \(a\le 0\), existe \(r\in\mathbb{Q}\) con \(a^r\) no definido.) Si \(a=0\), el propio \(r=-1\) ya falla: \(a^{-1}=1/0\) no está definido en \(\mathbb{R}\). Si \(a<0\), tómese \(r=1/2\), con la única representación reducida posible \(n=2\) par. La restricción del §1.2 §3 exige, para \(n\) par, que \(a\ge 0\); como \(a<0\), no existe ningún real \(b\ge 0\) con \(b^2=a\), de modo que \(a^{1/2}\) no está definido en \(\mathbb{R}\). En cualquiera de los dos casos, \(a\le 0\) produce al menos un racional para el cual \(a^r\) no existe. \(\blacksquare\)
Recordatorio. Con \(a>0\): \(a^r\) existe y es positivo para todo racional \(r\), sin importar cómo se escriba. Con \(a\le 0\), siempre hay algún racional —basta uno de denominador par— para el que \(a^r\) simplemente no es un número real.
§3. La convención de la función exponencial: \(a>0\), \(a\neq 1\)¶
La Proposición anterior fija la primera hipótesis sobre la base: \(a>0\). Queda una segunda, de naturaleza distinta —no algebraica, sino de propósito—. Si \(a=1\), entonces \(1^r=1\) para todo \(r\in\mathbb{Q}\) —y, se verá, para todo real una vez completada la extensión—, de modo que \(f(x)=1^x\) es simplemente la función constante \(f\equiv 1\), ya estudiada en el catálogo de prototipos del §2.4. No hay nada de malo en esa función, pero tampoco hay en ella nada exponencial: carece de la monotonía estricta y de la inyectividad que son, como se verá en el §9, el contenido central de este capítulo. Se la excluye, entonces, no porque esté mal definida sino porque su inclusión volvería vacíos los teoremas siguientes.
Con esto, la base de toda función exponencial —la definición formal se completará recién en los §6–§7, una vez extendida a \(\mathbb{R}\)— queda restringida a
es decir, \(a>0\) y \(a\neq 1\). Esta es la hipótesis estándar que se mantendrá, sin repetirla en cada enunciado, durante el resto del capítulo.
Con la base ya restringida a \(a>0,\ a\neq 1\), y \(a^r\) bien definido y positivo para todo racional \(r\), queda planteado el problema central de esta sección: extender \(a^r\) a un exponente \(x\) real cualquiera, de manera única y sin perder ninguna de sus propiedades algebraicas. La herramienta que lo permite es el axioma del supremo, fijado en el §9 de la sección 1.1; pero antes de invocarlo hace falta un hecho auxiliar que ese axioma tiene como consecuencia inmediata y que, hasta ahora, el libro nunca necesitó hacer explícito.
§4. Densidad de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\)¶
Lema (propiedad arquimediana). El conjunto \(\mathbb{N}\) no está acotado superiormente en \(\mathbb{R}\).
Demostración. Se procede por contradicción. Si \(\mathbb{N}\) estuviera acotado superiormente, el axioma del supremo garantizaría la existencia de \(s=\sup\mathbb{N}\in\mathbb{R}\). Como \(s-1<s\), el número \(s-1\) no puede ser cota superior de \(\mathbb{N}\) —de serlo, \(s\) no sería la menor de las cotas superiores—, de modo que existe algún \(n\in\mathbb{N}\) con \(n>s-1\), es decir, \(n+1>s\). Pero \(n+1\in\mathbb{N}\) también, de modo que \(s\) no acota a \(n+1\): contradicción, pues \(s\) debía ser cota superior de todo \(\mathbb{N}\). Luego \(\mathbb{N}\) no está acotado superiormente. \(\blacksquare\)
En particular, para todo \(x\in\mathbb{R}\) existe algún natural \(n\) con \(n>x\) —si no lo hubiera, \(x\) sería cota superior de \(\mathbb{N}\), contra el Lema—. Con esto se prueba lo que realmente interesa aquí: que entre dos reales distintos, por próximos que estén, siempre hay un racional.
Proposición (densidad de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\)). Para todo par \(x,y\in\mathbb{R}\) con \(x<y\), existe \(r\in\mathbb{Q}\) tal que \(x<r<y\).
Demostración. Como \(y-x>0\), el Lema arquimediano da un natural \(n\) con \(n>\dfrac{1}{y-x}\), de donde \(\dfrac{1}{n}<y-x\), es decir, \(nx+1<ny\). Considérese el conjunto de los enteros estrictamente mayores que \(nx\); es no vacío —de nuevo por el Lema, aplicado esta vez a \(nx\)— y está acotado inferiormente por \(nx\), de modo que posee un elemento mínimo \(m\) —propiedad de buen orden de \(\mathbb{Z}\)—. La minimalidad de \(m\) obliga a \(m-1\le nx\), esto es, \(m\le nx+1\); y por construcción, \(m>nx\). Combinando ambas desigualdades con la de arriba,
y dividiendo por \(n>0\) en toda la cadena, \(x<\dfrac{m}{n}<y\). El racional \(r=m/n\) es el buscado. \(\blacksquare\)
Recordatorio. \(\mathbb{N}\) no tiene techo real: para todo real \(x\) hay un natural mayor. Consecuencia directa: entre dos reales cualesquiera, por cercanos que estén, siempre cabe un racional.
§5. Monotonía racional de la base¶
Antes de definir la extensión hace falta saber que, sobre \(\mathbb{Q}\), la potencia \(a^r\) ya se comporta como se espera de una función creciente cuando \(a>1\) —de lo contrario, el supremo que se usará en el §6 no tendría ningún sentido creciente que extender—.
Lema. Sea \(a>1\). Si \(r,s\in\mathbb{Q}\) y \(r<s\), entonces \(a^r<a^s\).
Demostración. Escríbase \(s-r=p/q\), con \(p,q\in\mathbb{N}\), en su forma reducida; como \(s>r\), es \(p/q>0\). Por las leyes de exponentes ya establecidas en §1.2 §2 —válidas también para exponentes racionales, según el §4 de esa misma sección—,
Se afirma que \(a^{1/q}>1\). En efecto, si fuera \(a^{1/q}\le 1\), elevando ambos lados a la potencia entera \(q\) —operación que preserva el orden entre no negativos— se obtendría \(a=\left(a^{1/q}\right)^q\le 1\), contradiciendo la hipótesis \(a>1\). Luego \(a^{1/q}>1\), y una base mayor que \(1\) elevada a un entero positivo \(p\) permanece mayor que \(1\): \(\left(a^{1/q}\right)^p>1\). Así, \(a^s/a^r>1\), y como \(a^r>0\) por la Proposición del §2, se concluye \(a^s>a^r\). \(\blacksquare\)
§6. Existencia y unicidad de la extensión continua para \(a>1\)¶
Con la densidad de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\) y la monotonía racional ya disponibles, puede formularse y demostrarse el resultado central de esta sección.
Proposición (extensión continua, caso \(a>1\)). Sea \(a>1\). Existe una única función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+\) que coincide con \(r\mapsto a^r\) sobre \(\mathbb{Q}\) y que es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\). Está dada, para cada \(x\in\mathbb{R}\), por
Demostración. Se organiza en tres partes: que el supremo existe (buena definición), que \(f\) coincide con la potencia racional ya conocida quando \(x\in\mathbb{Q}\) (consistencia), y que ninguna otra función con las propiedades pedidas puede diferir de \(f\) (unicidad).
Buena definición. Fijado \(x\in\mathbb{R}\), sea \(S_x=\{a^r\mid r\in\mathbb{Q},\,r\le x\}\). El conjunto \(S_x\subseteq\mathbb{R}\) no es vacío: por el Lema arquimediano existe un natural mayor que \(-x\), y de allí un entero \(k\le x\) —tómese, por ejemplo, el opuesto de ese natural—, que en particular es racional, de modo que \(a^k\in S_x\). Tampoco es \(S_x\) un conjunto sin cota: por la Proposición de densidad existe un racional \(t>x\), y por el Lema del §5, todo \(r\le x<t\) racional cumple \(a^r<a^t\); luego \(a^t\) es cota superior de \(S_x\). No vacío y acotado superiormente, el axioma del supremo garantiza que \(\sup S_x\) existe en \(\mathbb{R}\), y por tratarse del supremo de un conjunto de números positivos, \(\sup S_x>0\). Esto define \(f(x)=\sup S_x\) para cada \(x\in\mathbb{R}\), sin ambigüedad.
Consistencia con el caso racional. Sea \(x=r_0\in\mathbb{Q}\). Como \(r_0\in S_{r_0}\) —tomando \(r=r_0\) en la definición del conjunto—, se tiene \(a^{r_0}\le\sup S_{r_0}=f(r_0)\). Por otro lado, todo \(r\in S_{r_0}\) satisface \(r\le r_0\), y por el Lema del §5 —o la igualdad, si \(r=r_0\)—, \(a^r\le a^{r_0}\); luego \(a^{r_0}\) es cota superior de \(S_{r_0}\), y como \(f(r_0)\) es la menor de las cotas superiores, \(f(r_0)\le a^{r_0}\). Ambas desigualdades juntas dan \(f(r_0)=a^{r_0}\): la extensión no contradice, en ningún punto racional, lo ya construido en el Capítulo 1.
Unicidad. Sea \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+\) otra función estrictamente creciente que coincida con \(a^r\) sobre \(\mathbb{Q}\). Defínase, junto a \(S_x\), el conjunto \(T_x=\{a^t\mid t\in\mathbb{Q},\,t>x\}\). Por el mismo argumento de densidad y monotonía del §5, \(T_x\) es no vacío y acotado inferiormente —por cualquier \(a^r\) con \(r\le x\)—, de modo que \(\inf T_x\) existe. Como todo elemento de \(S_x\) es menor que todo elemento de \(T_x\) —si \(r\le x<t\), el Lema del §5 da \(a^r<a^t\)—, se sigue de inmediato que
Sublema (aproximación de la unidad). Para \(a>1\) y todo racional \(\varepsilon>0\), existe \(n\in\mathbb{N}\) con \(a^{1/n}<1+\varepsilon\).
Demostración del sublema. Se usa primero la desigualdad de Bernoulli: para \(n\in\mathbb{N}\) y \(\varepsilon>0\) real, \((1+\varepsilon)^n\ge 1+n\varepsilon\) —hecho que se prueba por inducción sobre \(n\), sin dificultad, a partir de \((1+\varepsilon)^{n+1}=(1+\varepsilon)^n(1+\varepsilon)\ge(1+n\varepsilon)(1+\varepsilon)=1+(n+1)\varepsilon+n\varepsilon^2\ge 1+(n+1)\varepsilon\)—. Por el Lema arquimediano del §4, existe \(n\in\mathbb{N}\) con \(n>(a-1)/\varepsilon\), es decir, \(1+n\varepsilon>a\). Combinando con Bernoulli, \((1+\varepsilon)^n\ge 1+n\varepsilon>a\). Ambos lados de \((1+\varepsilon)^n>a\) son positivos, y la raíz \(n\)-ésima —de la que ya se probó, en el §1.2 §3, que es una operación bien definida y que preserva el orden entre reales no negativos— da \(1+\varepsilon>a^{1/n}\). \(\blacksquare\)
Con este sublema se cierra la igualdad que faltaba. Supóngase, por contradicción, \(\delta:=\inf T_x-\sup S_x>0\). Sea \(m\in\mathbb{Z}\) un entero con \(m\ge x\) —existe por el Lema arquimediano del §4, aplicado a \(-x\)—, y sea \(M=a^m>0\), cota fija que no depende de lo que sigue. Aplíquese el sublema con \(\varepsilon=\dfrac{\delta}{2M}>0\): existe \(n\in\mathbb{N}\) con \(a^{1/n}<1+\varepsilon\). Por la Proposición de densidad, existe un racional \(r\in(x-1/n,\,x]\); tómese \(t=r+1/n>x\), también racional. Entonces \(r\in S_x\) y \(t\in T_x\). Como \(r\le x\le m\), el Lema del §5 da \(a^r\le a^m=M\), de modo que
Se obtuvo así un par \(r\in S_x,\,t\in T_x\) con \(a^t-a^r<\delta\), de donde \(\inf T_x-\sup S_x\le a^t-a^r<\delta\), contradiciendo la definición de \(\delta\). Luego \(\delta=0\), es decir,
Con esta igualdad, la unicidad es inmediata: para todo racional \(r\le x\), \(g(r)=a^r\le g(x)\) por monotonía de \(g\), de donde \(g(x)\) es cota superior de \(S_x\) y \(f(x)\le g(x)\); simétricamente, para todo racional \(t>x\), \(g(x)\le g(t)=a^t\), de donde \(g(x)\) es cota inferior de \(T_x\) y \(g(x)\le\inf T_x=f(x)\). Ambas desigualdades dan \(g(x)=f(x)\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), y por tanto \(g=f\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. Para \(a>1\): \(a^x:=\sup\{a^r\mid r\in\mathbb{Q},\,r\le x\}=\inf\{a^t\mid t\in\mathbb{Q},\,t>x\}\). Existe (axioma del supremo), coincide con lo ya construido cuando \(x\) es racional, y es la única extensión creciente posible —la igualdad entre supremo e ínfimo, sostenida por la desigualdad de Bernoulli, es lo que cierra el argumento sin dejarlo abierto.
Queda así resuelta la extensión para \(a>1\). El caso \(0<a<1\) no se sigue de este por simple simetría algebraica —la base cambia de régimen de monotonía, no solo de signo en un exponente— y exige su propia demostración, dual mediante ínfimos en lugar de supremos: es el contenido del §7.
§7. Existencia y unicidad de la extensión continua para \(0<a<1\)¶
El caso \(0<a<1\) no es un simple espejo notacional del §6: la potencia \(a^r\) ahora decrece al crecer \(r\), de modo que el conjunto relevante no está acotado superiormente sino inferiormente, y es el ínfimo —no el supremo— el que produce la extensión. Cada paso se demuestra de manera autónoma, sin apelar a la relación \(a=1/b\) con \(b>1\).
Lema (monotonía racional, caso \(0<a<1\)). Sea \(0<a<1\). Si \(r,s\in\mathbb{Q}\) y \(r<s\), entonces \(a^r>a^s\).
Demostración. Como en el §5, escríbase \(s-r=p/q\) con \(p,q\in\mathbb{N}\). Se afirma primero que \(a^{1/q}<1\): si fuera \(a^{1/q}\ge 1\), elevar a la potencia \(q\) daría \(a=(a^{1/q})^q\ge 1\), contra la hipótesis \(a<1\). Como además \(a^{1/q}>0\) —es raíz principal de un real positivo—, se tiene \(0<a^{1/q}<1\). Una base en ese rango elevada a un entero positivo \(p\) permanece en ese rango: en efecto, si \(0<c<1\) entonces \(c^{p+1}=c^p\cdot c<c^p\cdot 1=c^p\), de modo que, por inducción sobre \(p\) a partir de \(c^1=c<1\), se sigue \(0<c^p<1\) para todo \(p\in\mathbb{N}\). Aplicado a \(c=a^{1/q}\): \(0<(a^{1/q})^p<1\), es decir, \(a^{s-r}<1\). Como \(a^r>0\), multiplicar por \(a^r\) preserva la desigualdad: \(a^s=a^r\cdot a^{s-r}<a^r\). \(\blacksquare\)
Lema (existencia del ínfimo). Todo subconjunto no vacío de \(\mathbb{R}\) acotado inferiormente posee un ínfimo en \(\mathbb{R}\).
Demostración. Sea \(S\subseteq\mathbb{R}\) no vacío y acotado inferiormente por \(m\). El conjunto \(-S=\{-x\mid x\in S\}\) es no vacío y está acotado superiormente por \(-m\) —pues \(x\ge m\) para todo \(x\in S\) equivale a \(-x\le -m\)—. Por el axioma del supremo, existe \(\sup(-S)\in\mathbb{R}\). Se verifica directamente que \(-\sup(-S)\) cumple las dos condiciones que definen al ínfimo de \(S\): es cota inferior de \(S\) —porque \(\sup(-S)\) es cota superior de \(-S\)—, y ninguna cota inferior mayor la supera —porque \(\sup(-S)\) es la menor cota superior de \(-S\)—. Luego \(\inf S=-\sup(-S)\) existe. \(\blacksquare\)
Con ambos lemas disponibles, sea \(S'_x=\{a^r\mid r\in\mathbb{Q},\,r\le x\}\), para \(a\in(0,1)\) fijo y \(x\in\mathbb{R}\). Es no vacío por el mismo argumento arquimediano del §6, y está acotado inferiormente: por densidad existe un racional \(t>x\), y como \(r\le x<t\) para todo \(r\) en el conjunto, el Lema de monotonía dual da \(a^r>a^t\), de modo que \(a^t\) es cota inferior. Por el Lema de existencia del ínfimo, \(f(x):=\inf S'_x\) existe y es positivo —ínfimo de un conjunto de reales positivos, acotado por uno de ellos—.
Sublema (aproximación de la unidad, caso \(0<a<1\)). Para todo racional \(\varepsilon\in(0,1)\), existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(a^{1/n}>1-\varepsilon\).
Demostración. Sea \(c=1-\varepsilon\in(0,1)\), y escríbase \(1/c=1+h\) con \(h>0\) —existe porque \(c<1\) implica \(1/c>1\)—. Por la desigualdad de Bernoulli, ya probada en el §6, \((1+h)^n\ge 1+nh\) para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por el Lema arquimediano del §4, existe \(n\in\mathbb{N}\) con \(n>\dfrac{1/a-1}{h}\), es decir, \(1+nh>1/a\). Combinando, \((1/c)^n=(1+h)^n\ge 1+nh>1/a\), de donde \(c^n<a\). Tomando raíz \(n\)-ésima —orden preservado entre positivos, según §1.2 §3— se obtiene \(c<a^{1/n}\), esto es, \(a^{1/n}>1-\varepsilon\). \(\blacksquare\)
Proposición 2 (extensión continua, caso \(0<a<1\)). Sea \(0<a<1\). Existe una única función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+\) que coincide con \(r\mapsto a^r\) sobre \(\mathbb{Q}\) y que es estrictamente decreciente en \(\mathbb{R}\). Está dada, para cada \(x\in\mathbb{R}\), por \(f(x)=\inf S'_x=\inf\{a^r\mid r\in\mathbb{Q},\,r\le x\}\).
Demostración. La buena definición ya quedó establecida arriba. Para la consistencia, sea \(x=r_0\in\mathbb{Q}\): como \(r_0\in S'_{r_0}\), es \(\inf S'_{r_0}\le a^{r_0}\); y como todo \(r\in S'_{r_0}\) cumple \(r\le r_0\), el Lema de monotonía dual da \(a^r\ge a^{r_0}\) —cota inferior—, de modo que \(a^{r_0}\le\inf S'_{r_0}\). Ambas desigualdades dan \(f(r_0)=a^{r_0}\).
Para la unicidad, sea \(T'_x=\{a^t\mid t\in\mathbb{Q},\,t>x\}\), no vacío y acotado superiormente por cualquier \(a^r\) con \(r\le x\) —vía el mismo Lema de monotonía dual—, de modo que \(\sup T'_x\) existe. Todo elemento de \(T'_x\) es menor que todo elemento de \(S'_x\) —si \(r\le x<t\), \(a^r>a^t\)—, luego \(\sup T'_x\le\inf S'_x=f(x)\). Para la desigualdad recíproca, sea \(\delta:=f(x)-\sup T'_x\) y supóngase \(\delta>0\). Sea \(m\in\mathbb{Z}\) el único entero con \(m\le x-1<m+1\) —existe por el mismo argumento de buen orden usado en la Proposición de densidad del §4—, y sea \(M=a^{m}\), cota fija. Aplíquese el sublema con \(\varepsilon=\delta/(2M)\): existe \(n\in\mathbb{N}\) con \(a^{1/n}>1-\varepsilon\). Por densidad, existe racional \(r\in(x-1/n,\,x]\); sea \(t=r+1/n>x\). Como \(1/n\le 1\), se tiene \(r>x-1/n\ge x-1>m\), de modo que el Lema de monotonía dual da \(a^r<a^m=M\). Luego
Así, \(f(x)-\sup T'_x\le a^r-a^t<\delta\), contradiciendo la definición de \(\delta\). Luego \(\delta=0\) y \(f(x)=\sup T'_x=\inf S'_x\).
De esta igualdad se sigue la unicidad exactamente como en el §6: si \(g\) es decreciente y coincide con \(a^r\) en \(\mathbb{Q}\), entonces para \(r\le x\) es \(g(x)\le g(r)=a^r\) —cota superior de \(g(x)\) sobre \(S'_x\) invertida—, de donde \(g(x)\le\inf S'_x=f(x)\); y para \(t>x\), \(g(x)\ge g(t)=a^t\), de donde \(g(x)\ge\sup T'_x=f(x)\). Ambas dan \(g(x)=f(x)\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. Para \(0<a<1\): \(a^x:=\inf\{a^r\mid r\in\mathbb{Q},\,r\le x\}=\sup\{a^t\mid t\in\mathbb{Q},\,t>x\}\) — el espejo exacto del §6, pero demostrado de cero: monotonía decreciente propia, ínfimo en vez de supremo, y un sublema de aproximación que corre en sentido contrario.
Con ambas Proposiciones —§6 para \(a>1\), §7 para \(0<a<1\)— la función \(f(x)=a^x\) queda definida y unívocamente determinada en todo \(\mathbb{R}\), para cualquier base admisible. Falta todavía lo que da a esta construcción su verdadero valor operativo: probar que \(f\) conserva la propiedad de homomorfismo, \(f(x+y)=f(x)f(y)\), más allá de \(\mathbb{Q}\). Ese es el contenido del §8.
§8. El homomorfismo fundamental: \(f(x+y)=f(x)f(y)\) en \(\mathbb{R}\)¶
Sobre \(\mathbb{Q}\), la identidad \(a^{r+s}=a^r a^s\) es, esencialmente, la ley del producto de potencias del §1.2 §2, extendida a exponentes racionales en el §1.2 §4. Extenderla a \(\mathbb{R}\) no es automático: \(f(x+y)\) y \(f(x)f(y)\) son, a priori, dos números construidos por procedimientos distintos —un supremo (o ínfimo) tomado sobre racionales cercanos a \(x+y\), frente a un producto de dos supremos (o ínfimos) tomados por separado—, y hace falta un argumento para saber que coinciden. La herramienta que lo permite es un hecho general sobre cómo interactúan el supremo y el ínfimo con el producto.
Lema (supremo de un producto). Sean \(A,B\subseteq(0,\infty)\) no vacíos y acotados superiormente, con \(\alpha=\sup A\), \(\beta=\sup B\). Entonces \(AB=\{ab\mid a\in A,\,b\in B\}\) está acotado superiormente y \(\sup(AB)=\alpha\beta\).
Demostración. Para \(a\in A,\,b\in B\) cualesquiera, \(0<a\le\alpha\) y \(0<b\le\beta\), y multiplicar dos desigualdades entre positivos preserva el sentido: \(ab\le\alpha\beta\). Luego \(\alpha\beta\) es cota superior de \(AB\), y \(\sup(AB)\le\alpha\beta\).
Para la desigualdad recíproca, fíjese \(\varepsilon>0\) y tómese \(\varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}{\alpha+\beta}>0\). Por la caracterización del supremo del §1.1 §9 —para todo \(\varepsilon'>0\) existe un elemento del conjunto que supera a \(\sup-\varepsilon'\)—, existen \(a\in A\) con \(a>\alpha-\varepsilon'\) y \(b\in B\) con \(b>\beta-\varepsilon'\). Entonces
de modo que \(\sup(AB)\ge ab>\alpha\beta-\varepsilon\). Como esto vale para todo \(\varepsilon>0\), se sigue \(\sup(AB)\ge\alpha\beta\). Ambas desigualdades dan \(\sup(AB)=\alpha\beta\). \(\blacksquare\)
Lema (ínfimo de un producto). Sean \(A,B\subseteq(0,\infty)\) no vacíos y acotados inferiormente por cotas positivas, con \(\alpha=\inf A\), \(\beta=\inf B\). Entonces \(\inf(AB)=\alpha\beta\).
Demostración. La desigualdad \(\inf(AB)\ge\alpha\beta\) es inmediata: \(a\ge\alpha>0\), \(b\ge\beta>0\) dan \(ab\ge\alpha\beta\) para todo \(a\in A,b\in B\), luego \(\alpha\beta\) es cota inferior de \(AB\). Para la recíproca, fíjese \(\varepsilon>0\) y tómese \(\varepsilon'=\min\!\left(1,\ \dfrac{\varepsilon}{2(\alpha+\beta+1)}\right)\). Por la caracterización dual del ínfimo —para todo \(\varepsilon'>0\) existe un elemento del conjunto menor que \(\inf+\varepsilon'\)—, existen \(a\in A\) con \(a<\alpha+\varepsilon'\) y \(b\in B\) con \(b<\beta+\varepsilon'\). Como \(\varepsilon'\le 1\), es \((\varepsilon')^2\le\varepsilon'\), y
de modo que \(\inf(AB)\le ab<\alpha\beta+\varepsilon\). Como esto vale para todo \(\varepsilon>0\), se sigue \(\inf(AB)\le\alpha\beta\). Ambas desigualdades dan \(\inf(AB)=\alpha\beta\). \(\blacksquare\)
Con estos dos lemas, la demostración del homomorfismo se reduce a una cuestión de inclusión de conjuntos.
Proposición (homomorfismo fundamental). Sea \(a>0\), \(a\neq 1\), y \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+\) la extensión construida en el §6 (si \(a>1\)) o en el §7 (si \(0<a<1\)). Entonces, para todo \(x,y\in\mathbb{R}\),
Demostración. Se trata el caso \(a>1\); el caso \(0<a<1\) es análogo, intercambiando los papeles de \(S\) y \(T\), según se detalla al final.
Caso \(a>1\). Recuérdense, del §6, los conjuntos \(S_x=\{a^r\mid r\in\mathbb{Q},r\le x\}\) y \(T_x=\{a^t\mid t\in\mathbb{Q},t>x\}\), con \(f(x)=\sup S_x=\inf T_x\).
Si \(r\in S_x\) y \(s\in S_y\) —es decir, \(r\le x\), \(s\le y\), ambos racionales—, entonces \(r+s\le x+y\) es racional, de modo que \(a^{r}a^{s}=a^{r+s}\in S_{x+y}\). Esto muestra \(S_xS_y\subseteq S_{x+y}\), y por tanto \(\sup(S_xS_y)\le\sup S_{x+y}=f(x+y)\). Por el Lema del supremo de un producto, \(\sup(S_xS_y)=\sup S_x\cdot\sup S_y=f(x)f(y)\). Luego
Simétricamente, si \(t\in T_x\) y \(u\in T_y\) —es decir, \(t>x\), \(u>y\)—, entonces \(t+u>x+y\) es racional, de modo que \(a^t a^u=a^{t+u}\in T_{x+y}\). Esto muestra \(T_xT_y\subseteq T_{x+y}\), y por tanto \(\inf(T_xT_y)\ge\inf T_{x+y}=f(x+y)\). Por el Lema del ínfimo de un producto, \(\inf(T_xT_y)=\inf T_x\cdot\inf T_y=f(x)f(y)\). Luego
Ambas desigualdades juntas dan \(f(x+y)=f(x)f(y)\).
Caso \(0<a<1\). Con \(S'_x=\{a^r\mid r\in\mathbb{Q},r\le x\}\) y \(T'_x=\{a^t\mid t\in\mathbb{Q},t>x\}\) del §7, ahora \(f(x)=\inf S'_x=\sup T'_x\). La misma inclusión \(S'_xS'_y\subseteq S'_{x+y}\) —vía \(r+s\le x+y\)— da, por el Lema del ínfimo de un producto, \(\inf(S'_xS'_y)=f(x)f(y)\ge\inf S'_{x+y}=f(x+y)\), esto es, \(f(x)f(y)\ge f(x+y)\). Y la inclusión \(T'_xT'_y\subseteq T'_{x+y}\) —vía \(t+u>x+y\)— da, por el Lema del supremo de un producto, \(\sup(T'_xT'_y)=f(x)f(y)\le\sup T'_{x+y}=f(x+y)\), esto es, \(f(x)f(y)\le f(x+y)\). Ambas desigualdades juntas dan, otra vez, \(f(x+y)=f(x)f(y)\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. \(a^{x+y}=a^x\cdot a^y\) vale en todo \(\mathbb{R}\), no solo en \(\mathbb{Q}\) —y no por definición, sino como teorema: se sigue de que el supremo (o el ínfimo) de un producto de conjuntos es el producto de los supremos (o ínfimos), aplicado a los mismos conjuntos que ya sirvieron para construir la extensión.
Como corolario inmediato —y sin necesidad de nueva demostración, por ser consecuencia algebraica directa del homomorfismo ya probado— se obtienen las leyes generales de los exponentes en \(\mathbb{R}\): \(a^{x-y}=a^x/a^y\) (tomando \(y'=-y\) y usando \(a^{x}=a^{(x-y)+y}=a^{x-y}a^y\)), \((a^x)^y=a^{xy}\), y \((ab)^x=a^xb^x\) para \(a,b>0\). La verificación de cada una queda propuesta como ejercicio en el §12.
Con el homomorfismo establecido, resta caracterizar cómo se comporta \(f\) como función: su monotonía estricta en todo \(\mathbb{R}\) —no solo en \(\mathbb{Q}\), como hasta ahora—, su inyectividad, y los conjuntos exactos que ocupa como dominio y como recorrido. Ese es el contenido del §9.
§9. Monotonía estricta e inyectividad en \(\mathbb{R}\)¶
Los Lemas del §5 y del §7 probaron la monotonía de \(a^r\) únicamente para \(r\) racional. Falta extenderla a todo par de reales —lo cual no es automático: que una función crezca en cada par de racionales no basta, por sí solo, para garantizar que crezca en cada par de reales, salvo que se demuestre—.
Proposición (monotonía estricta). Sea \(f\) la extensión construida en el §6 o en el §7. Si \(a>1\), entonces \(f\) es estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\): \(x<y\implies f(x)<f(y)\). Si \(0<a<1\), entonces \(f\) es estrictamente decreciente: \(x<y\implies f(x)>f(y)\).
Demostración. Sean \(x,y\in\mathbb{R}\) con \(x<y\). Por la Proposición de densidad del §4, existe un racional \(r_1\in(x,y)\); aplicada de nuevo al par \((r_1,y)\), existe un racional \(r_2\in(r_1,y)\). En particular, \(x<r_1<r_2<y\), con \(r_1,r_2\in\mathbb{Q}\).
Caso \(a>1\). Como \(r_1>x\), es \(r_1\in T_x\) y por tanto \(f(x)=\inf T_x\le a^{r_1}\). Como \(r_2<y\), es \(r_2\in S_y\) y por tanto \(a^{r_2}\le\sup S_y=f(y)\). Como \(r_1<r_2\), el Lema de monotonía racional del §5 da \(a^{r_1}<a^{r_2}\). Encadenando las tres relaciones,
de donde \(f(x)<f(y)\).
Caso \(0<a<1\). Como \(r_1>x\), es \(r_1\in T'_x\) y por tanto \(a^{r_1}\le\sup T'_x=f(x)\). Como \(r_2<y\), es \(r_2\in S'_y\) y por tanto \(f(y)=\inf S'_y\le a^{r_2}\). Como \(r_1<r_2\), el Lema de monotonía dual del §7 da \(a^{r_1}>a^{r_2}\). Encadenando,
de donde \(f(y)<f(x)\), esto es, \(f(x)>f(y)\). \(\blacksquare\)
Corolario (inyectividad). \(f\) es inyectiva en \(\mathbb{R}\): si \(x\neq y\), entonces \(f(x)\neq f(y)\).
Demostración. Sin pérdida de generalidad, \(x<y\). Por la Proposición anterior, \(f(x)<f(y)\) o \(f(x)>f(y)\) según sea \(a>1\) o \(0<a<1\); en cualquier caso, \(f(x)\neq f(y)\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. La monotonía racional del §5/§7 no bastaba por sí sola: hubo que probar, con densidad de por medio, que se traslada a todo \(\mathbb{R}\). Consecuencia inmediata: \(f\) es inyectiva, sin excepción —el criterio de la recta horizontal del §2.7 se cumple para toda función exponencial, y esa inyectividad es, precisamente, lo que en el §4.3 permitirá definir su inversa, el logaritmo.
Con la monotonía estricta y la inyectividad probadas, quedan por determinar el dominio y el recorrido exactos de \(f\) —este último, en particular, exige un argumento genuinamente nuevo—, y el comportamiento de \(f\) en los extremos del dominio. Ese es el contenido del §10.
§10. Dominio y recorrido¶
Proposición (dominio). \(\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\).
Demostración. Inmediata: la parte de buena definición de las Proposiciones del §6 y del §7 mostró que \(f(x)\) existe —como supremo o como ínfimo, según el caso— para cada \(x\in\mathbb{R}\), sin excepción. \(\blacksquare\)
El recorrido es la parte no trivial. Antes de abordarlo hace falta un lema sobre el crecimiento de las potencias enteras, que sostiene tanto la suprayectividad como, en el §11, la asíntota.
Lema (no acotación de potencias enteras). Sea \(b>1\). El conjunto \(\{b^n\mid n\in\mathbb{N}\}\) no está acotado superiormente en \(\mathbb{R}\).
Demostración. Sea \(h=b-1>0\). Por la desigualdad de Bernoulli, ya probada en el §6, \(b^n=(1+h)^n\ge 1+nh\) para todo \(n\in\mathbb{N}\). Dado cualquier \(M\in\mathbb{R}\), el Lema arquimediano del §4 da un natural \(n>(M-1)/h\), de donde \(1+nh>M\), y por tanto \(b^n\ge 1+nh>M\). Como \(M\) era arbitrario, el conjunto no tiene cota superior. \(\blacksquare\)
Este lema, aplicado a \(b=a\) cuando \(a>1\), y a \(b=1/a\) cuando \(0<a<1\) —caso en que \(1/a>1\)—, cubre ambos regímenes de base sin necesidad de una segunda demostración: es un hecho puramente aritmético sobre números mayores que \(1\), independiente de cuál función exponencial se esté construyendo con él.
Proposición (recorrido). \(\operatorname{Rec}(f)=(0,\infty)\).
Demostración. La inclusión \(\operatorname{Rec}(f)\subseteq(0,\infty)\) ya se probó: tanto el supremo como el ínfimo de un conjunto de reales positivos son positivos, según se estableció en la buena definición del §6 y del §7. Falta la inclusión recíproca: dado \(y>0\) cualquiera, exhibir \(x\in\mathbb{R}\) con \(f(x)=y\).
Caso \(a>1\). Sea \(E=\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)<y\}\). Es no vacío: por el Lema anterior existe \(n\in\mathbb{N}\) con \(a^n>1/y\), de donde \(f(-n)=a^{-n}=1/a^n<y\) —usando la consistencia racional del §6—, es decir, \(-n\in E\). Está acotado superiormente: existe \(n\in\mathbb{N}\) con \(a^n>y\), y por la monotonía estricta del §9, todo \(x>n\) cumple \(f(x)>f(n)=a^n>y\), de modo que ningún tal \(x\) pertenece a \(E\); luego \(n\) es cota superior. Por el axioma del supremo, \(x_0=\sup E\) existe en \(\mathbb{R}\).
Se afirma \(f(x_0)=y\). Supóngase primero \(f(x_0)<y\). Por el homomorfismo del §8 y la consistencia racional, para cualquier \(n\in\mathbb{N}\),
Como \(y/f(x_0)>1\) —porque \(f(x_0)<y\) y \(f(x_0)>0\)—, el sublema de aproximación de la unidad del §6 da un \(n\) con \(a^{1/n}<y/f(x_0)\), de donde \(f(x_0+1/n)<f(x_0)\cdot(y/f(x_0))=y\). Así, \(x_0+1/n\in E\) y \(x_0+1/n>x_0\), contradiciendo que \(x_0\) sea cota superior de \(E\).
Supóngase, en cambio, \(f(x_0)>y\). Por el mismo homomorfismo,
Como \(f(x_0)/y>1\), el sublema de aproximación de la unidad da un \(n\) con \(a^{1/n}<f(x_0)/y\), de donde \(f(x_0-1/n)>f(x_0)/(f(x_0)/y)=y\). Si existiera \(x\in E\) con \(x>x_0-1/n\), la monotonía estricta del §9 daría \(f(x)>f(x_0-1/n)>y\), contradiciendo \(x\in E\) (que exige \(f(x)<y\)). Luego ningún elemento de \(E\) supera a \(x_0-1/n\): es una cota superior de \(E\), y \(x_0-1/n<x_0\), contradiciendo que \(x_0\) sea la menor cota superior.
Descartadas ambas desigualdades estrictas, \(f(x_0)=y\).
Caso \(0<a<1\). Sea \(E'=\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)>y\}\). Por un argumento simétrico al anterior —usando el Lema aplicado a \(b=1/a\) para obtener \(a^{-n}\) arbitrariamente grande y \(a^n\) arbitrariamente pequeño— \(E'\) es no vacío y acotado superiormente, de modo que \(x_0=\sup E'\) existe.
Si \(f(x_0)>y\): por el homomorfismo, \(f(x_0+1/n)=f(x_0)\cdot a^{1/n}\). Por el sublema de aproximación de la unidad del §7, existe \(n\) con \(a^{1/n}>1-\varepsilon\) para \(\varepsilon=(f(x_0)-y)/f(x_0)>0\), de donde \(f(x_0+1/n)>f(x_0)(1-\varepsilon)=y\). Así \(x_0+1/n\in E'\), superando a \(x_0\): contradicción.
Si \(f(x_0)<y\): por el homomorfismo, \(f(x_0-1/n)=f(x_0)\cdot a^{-1/n}\). Aplicando el sublema de aproximación de la unidad del §6 —esta vez a \(b=1/a>1\), lo cual da \(b^{1/n}=a^{-1/n}\) arbitrariamente próximo a \(1\) por arriba— existe \(n\) con \(a^{-1/n}<1+\varepsilon'\) para \(\varepsilon'=(y-f(x_0))/f(x_0)>0\), de donde \(f(x_0-1/n)<f(x_0)(1+\varepsilon')=y\). Por la monotonía estricta decreciente del §9, todo \(x>x_0-1/n\) cumple \(f(x)<f(x_0-1/n)<y\), de modo que ningún tal \(x\) está en \(E'\): \(x_0-1/n\) es cota superior de \(E'\), menor que \(x_0\): contradicción.
En ambos casos, \(f(x_0)=y\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. \(\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\), \(\operatorname{Rec}(f)=(0,\infty)\). La suprayectividad no es un dato gratuito de la construcción: se demuestra, y la demostración reutiliza exactamente el mismo par de herramientas que ya venía usando el capítulo —homomorfismo y aproximación de la unidad— en lugar de apelar a un principio nuevo como el teorema del valor intermedio.
Con dominio y recorrido establecidos, y siendo \(f:\mathbb{R}\to(0,\infty)\) biyectiva por el §9 y esta Proposición, queda fijada la pieza que el §4.3 necesitará para definir el logaritmo como función inversa.
§11. Comportamiento asintótico¶
Falta describir cómo se comporta \(f\) en los extremos de su dominio —comportamiento que, a diferencia del recorrido, no requiere herramienta nueva: el Lema de no acotación del §10 basta.
Proposición (asíntota horizontal). Sea \(a>1\). Para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que \(x<-N\implies f(x)<\varepsilon\). Además, \(f\) no está acotada superiormente: para todo \(M\in\mathbb{R}\) existe \(N'\in\mathbb{N}\) tal que \(x>N'\implies f(x)>M\).
Demostración. Dado \(\varepsilon>0\), el Lema del §10 da \(N\in\mathbb{N}\) con \(a^N>1/\varepsilon\). Si \(x<-N\), la monotonía estricta del §9 da \(f(x)<f(-N)=a^{-N}=1/a^N<\varepsilon\); y como \(f(x)>0\) siempre, \(|f(x)-0|=f(x)<\varepsilon\). Dado \(M\in\mathbb{R}\), el mismo Lema da \(N'\in\mathbb{N}\) con \(a^{N'}>M\); si \(x>N'\), la monotonía estricta da \(f(x)>f(N')=a^{N'}>M\). \(\blacksquare\)
El caso \(0<a<1\) es exactamente el espejo: \(f\) decrece, de modo que el comportamiento no acotado ocurre a la izquierda y la aproximación a cero, a la derecha.
Proposición (asíntota horizontal, caso \(0<a<1\)). Sea \(0<a<1\). Para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que \(x>N\implies f(x)<\varepsilon\). Además, para todo \(M\in\mathbb{R}\) existe \(N'\in\mathbb{N}\) tal que \(x<-N'\implies f(x)>M\).
Demostración. Aplíquese el Lema del §10 a \(b=1/a>1\): dado \(\varepsilon>0\), existe \(N\) con \((1/a)^N>1/\varepsilon\), es decir, \(a^N<\varepsilon\). Si \(x>N\), la monotonía estricta decreciente del §9 da \(f(x)<f(N)=a^N<\varepsilon\). Dado \(M\), existe \(N'\) con \((1/a)^{N'}>M\), es decir, \(a^{-N'}>M\); si \(x<-N'\), la monotonía estricta da \(f(x)>f(-N')=a^{-N'}>M\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. En ambos regímenes, \(f\) tiene a \(y=0\) como asíntota horizontal en el extremo donde decrece hacia el eje, y crece sin cota en el extremo opuesto —nunca en ambos a la vez, porque \(f\) es estrictamente monótona—. La recta \(y=0\) nunca se toca, solo se aproxima: \(f(x)>0\) para todo \(x\), según ya se probó.
Con esto queda completa la caracterización analítica de la función exponencial: existencia y unicidad de su extensión a \(\mathbb{R}\) (§6–§7), su homomorfismo (§8), su monotonía estricta e inyectividad (§9), su dominio y recorrido (§10), y su comportamiento asintótico (§11). Restan el bloque de ejercicios resueltos y demostraciones, y la reflexión de cierre sobre el paso del álgebra discreta al análisis continuo — contenido del §12.
§12. Ejercicios resueltos, demostraciones y cierre¶
Parte A — Ejercicios resueltos y demostraciones completas¶
Ejercicio 1. Demostrar que \(a^{x-y}=a^x/a^y\) para todo \(x,y\in\mathbb{R}\).
Solución. Por el homomorfismo del §8, aplicado a \(u=x-y\) y \(v=y\),
Como \(a^y>0\) —recorrido de \(f\), §10—, puede dividirse ambos lados por \(a^y\) sin alterar la igualdad: \(a^{x-y}=a^x/a^y\). \(\blacksquare\)
Los otros dos corolarios diferidos —\((a^x)^y=a^{xy}\) y \((ab)^x=a^xb^x\)— no se siguen de un solo paso algebraico: piden comparar dos funciones construidas por procedimientos distintos (una composición de extensiones, la otra un producto de extensiones), y hace falta un criterio general para saber cuándo dos de esas construcciones coinciden. Se desarrolla ese criterio antes de usarlo.
Lema (continuidad en \(0\) de toda extensión exponencial). Sea \(c>0\). Para todo \(\varepsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que, para todo \(h\in\mathbb{R}\) con \(|h|<\delta\), se cumple \(|c^h-1|<\varepsilon\).
Demostración. Si \(c=1\), la afirmación es trivial: \(c^h=1\) para todo \(h\). Supóngase \(c\neq 1\); sin pérdida de generalidad, \(c>1\) —si \(0<c<1\), el argumento es el espejo, usando el sublema del §7 en vez del §6—. Por el sublema de aproximación de la unidad del §6, dado \(\varepsilon>0\), existe \(n\in\mathbb{N}\) con \(c^{1/n}<1+\varepsilon\); por la misma razón —aplicada a \(1/c>1\), o directamente por monotonía racional del §5, que da \(c^{-1/n}<1\) y, junto con la aproximación, \(c^{-1/n}>1-\varepsilon\) para \(n\) suficientemente grande, según un argumento idéntico— también \(c^{-1/n}>1-\varepsilon\) eligiendo \(n\) mayor si hace falta. Sea \(\delta=1/n\). Para \(|h|<\delta\), es \(-1/n<h<1/n\), y por la monotonía estricta del §9, \(c^{-1/n}<c^h<c^{1/n}\). Combinando, \(1-\varepsilon<c^h<1+\varepsilon\), es decir, \(|c^h-1|<\varepsilon\). \(\blacksquare\)
Lema (unicidad de homomorfismos continuos en \(0\)). Sean \(\varphi,\psi:\mathbb{R}\to(0,\infty)\) tales que \(\varphi(u+v)=\varphi(u)\varphi(v)\) y \(\psi(u+v)=\psi(u)\psi(v)\) para todo \(u,v\in\mathbb{R}\), que coinciden en \(\mathbb{Q}\), y que son ambos continuos en \(0\) en el sentido del Lema anterior. Entonces \(\varphi=\psi\) en \(\mathbb{R}\).
Demostración. Todo homomorfismo \(\varphi:\mathbb{R}\to(0,\infty)\) satisface \(\varphi(0)=1\) —pues \(\varphi(0)=\varphi(0+0)=\varphi(0)^2\), y como \(\varphi(0)>0\), la única solución de \(t=t^2\) con \(t>0\) es \(t=1\)— y \(\varphi(x)\varphi(-x)=\varphi(0)=1\), de modo que \(\varphi(x)>0\) nunca se anula, consistente con la hipótesis. Defínase \(\rho(x)=\varphi(x)/\psi(x)\), bien definida pues \(\psi(x)>0\). Es un homomorfismo: \(\rho(u+v)=\dfrac{\varphi(u)\varphi(v)}{\psi(u)\psi(v)}=\rho(u)\rho(v)\). Coincide con \(1\) en \(\mathbb{Q}\): si \(r\in\mathbb{Q}\), \(\varphi(r)=\psi(r)\) por hipótesis, luego \(\rho(r)=1\). Y es continuo en \(0\) con valor \(1\): dado \(\varepsilon>0\), tómese \(\varepsilon'=\min(\varepsilon/3,1/2)\); por la continuidad en \(0\) de \(\varphi\) y de \(\psi\), existe \(\delta>0\) tal que \(|h|<\delta\) da \(\varphi(h),\psi(h)\in(1-\varepsilon',1+\varepsilon')\), de donde \(\rho(h)=\varphi(h)/\psi(h)\in\left(\dfrac{1-\varepsilon'}{1+\varepsilon'},\dfrac{1+\varepsilon'}{1-\varepsilon'}\right)\), un intervalo contenido en \((1-\varepsilon,1+\varepsilon)\) para \(\varepsilon'\le\varepsilon/3\) —verificación algebraica directa—.
Fíjese ahora \(x\in\mathbb{R}\) y \(\varepsilon>0\) arbitrarios. Por la continuidad en \(0\) de \(\rho\), existe \(\delta>0\) con \(|h|<\delta\implies|\rho(h)-1|<\varepsilon\). Por la densidad del §4, existe \(r\in\mathbb{Q}\) con \(|x-r|<\delta\). Entonces
usando que \(\rho(r)=1\). Como \(|x-r|<\delta\), se sigue \(|\rho(x)-1|=|\rho(x-r)-1|<\varepsilon\). Como \(\varepsilon>0\) era arbitrario, \(\rho(x)=1\), es decir, \(\varphi(x)=\psi(x)\). Como \(x\) era arbitrario, \(\varphi=\psi\). \(\blacksquare\)
Ejercicio 2. Demostrar que \((a^x)^y=a^{xy}\) para todo \(x,y\in\mathbb{R}\), entendiendo \((a^x)^y\) como la extensión real (§6–§7) aplicada a la base \(c=a^x>0\).
Solución. Fíjese \(x\in\mathbb{R}\). Defínanse \(\varphi(y)=(a^x)^y\) y \(\psi(y)=a^{xy}\), ambas funciones de \(y\). Se verifican las tres hipótesis del Lema de unicidad.
Homomorfismo. \(\varphi(y_1+y_2)=(a^x)^{y_1+y_2}=(a^x)^{y_1}(a^x)^{y_2}=\varphi(y_1)\varphi(y_2)\), por el §8 aplicado a la base \(a^x\). \(\psi(y_1+y_2)=a^{x(y_1+y_2)}=a^{xy_1+xy_2}=a^{xy_1}a^{xy_2}=\psi(y_1)\psi(y_2)\), por el §8 aplicado a la base \(a\).
Coincidencia en \(\mathbb{Q}\). Sea \(r=m/n\in\mathbb{Q}\). Por homomorfismo iterado —aplicando el §8 \(n\) veces—, \(\left(a^{x/n}\right)^n=a^{x/n+\cdots+x/n}=a^x\). Así, \(a^{x/n}\) es un real positivo cuya potencia \(n\)-ésima es \(a^x\); por la unicidad de la raíz \(n\)-ésima principal (§1.2 §3), \(a^{x/n}=(a^x)^{1/n}\). Luego, usando de nuevo homomorfismo iterado y el Ejercicio 1 para exponentes negativos,
Continuidad en \(0\). \(\varphi\) es continua en \(0\) por el Lema anterior, aplicado a \(c=a^x\). Para \(\psi\): dado \(\varepsilon>0\), si \(x=0\) la afirmación \((a^0)^y=1^y=1=a^0\) es trivial para todo \(y\); si \(x\neq 0\), por la continuidad en \(0\) de \(f_a\) existe \(\delta'\) con \(|z|<\delta'\implies|a^z-1|<\varepsilon\), y tomando \(\delta=\delta'/|x|\), \(|h|<\delta\implies|xh|<\delta'\implies|\psi(h)-1|=|a^{xh}-1|<\varepsilon\).
Por el Lema de unicidad, \(\varphi=\psi\), es decir, \((a^x)^y=a^{xy}\) para todo \(y\in\mathbb{R}\) —y como \(x\) era arbitrario, para todo \(x,y\in\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)
Ejercicio 3. Demostrar que \((ab)^x=a^xb^x\) para \(a,b>0\) y todo \(x\in\mathbb{R}\).
Solución. Defínanse \(\varphi(x)=(ab)^x\) y \(\psi(x)=a^xb^x\). Homomorfismo: \(\varphi\) lo es por construcción (§8, base \(ab\), o trivialmente si \(ab=1\)); \(\psi(x_1+x_2)=a^{x_1+x_2}b^{x_1+x_2}=(a^{x_1}b^{x_1})(a^{x_2}b^{x_2})=\psi(x_1)\psi(x_2)\), usando el §8 para \(a\) y para \(b\) por separado. Coincidencia en \(\mathbb{Q}\): \((ab)^r=a^rb^r\) para \(r\in\mathbb{Q}\) es la ley de exponentes racionales ya extendida en el §1.2 §4. Continuidad en \(0\): \(\varphi\), por el Lema, aplicado a \(c=ab\); \(\psi(h)=a^hb^h\), producto de dos funciones cada una continua en \(0\) con valor \(1\), de donde \(\psi(h)\to 1\) por un argumento de acotación análogo al usado dentro del Lema de unicidad. Por el Lema de unicidad, \(\varphi=\psi\): \((ab)^x=a^xb^x\). \(\blacksquare\)
Ejercicio 4 (ecuación exponencial, misma base). Resolver \(2^{3x-1}=2^{x+5}\).
Solución. Por la inyectividad del §9 —corolario de la monotonía estricta—, \(2^{3x-1}=2^{x+5}\) si y solo si los exponentes coinciden: \(3x-1=x+5\). De ahí, \(2x=6\), es decir, \(x=3\). La inyectividad es lo que justifica el paso, no una manipulación informal: sin ella, dos exponentes distintos podrían, en principio, producir el mismo valor.
Ejercicio 5 (ecuación exponencial, bases distintas reducibles). Resolver \(9^x=27^{x-1}\).
Solución. Reescríbanse ambas bases como potencias de \(3\): \(9=3^2\), \(27=3^3\). Por el Ejercicio 2, \((3^2)^x=3^{2x}\) y \((3^3)^{x-1}=3^{3(x-1)}=3^{3x-3}\). La ecuación se reduce a \(3^{2x}=3^{3x-3}\), y por inyectividad (§9), \(2x=3x-3\), de donde \(x=3\).
Ejercicio 6 (inecuación exponencial, base entre \(0\) y \(1\)). Resolver \(\left(\tfrac12\right)^x>\left(\tfrac12\right)^3\).
Solución. Como \(0<\tfrac12<1\), \(f(x)=(1/2)^x\) es estrictamente decreciente (§9). Para una función estrictamente decreciente, \(f(x)>f(3)\) obliga a \(x<3\) —si fuera \(x=3\), los valores coincidirían por sustitución directa; si fuera \(x>3\), la monotonía decreciente daría \(f(x)<f(3)\), contradiciendo la hipótesis—. Luego la solución es \(x<3\).
Parte B — Cierre filosófico y transición¶
Conviene, antes de cerrar esta sección, hacer un balance de lo que realmente permitió el paso de \(\mathbb{Q}\) a \(\mathbb{R}\) en la potenciación. No fue un nuevo conjunto de números —a diferencia de lo que exigió, en el Capítulo 3, el paso de \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{C}\)—, ni una operación nueva: fue una sola propiedad de \(\mathbb{R}\), la completitud, ya fijada como axioma en el §1.1, mucho antes de que este capítulo la necesitara. Toda la maquinaria construida a lo largo de estas doce secciones —supremo, ínfimo, densidad, la desigualdad de Bernoulli, la aproximación de la unidad— es, mirada en conjunto, una sola idea aplicada una y otra vez desde ángulos distintos: que un patrón definido sobre un conjunto discreto y agujereado como \(\mathbb{Q}\) puede forzarse, sin ambigüedad ni excepción, a ocupar cada agujero del continuo, siempre que se disponga de una cota que lo sostenga desde ambos lados. El álgebra discreta del Capítulo 1 preguntaba "¿cuánto vale \(a\) elevado a esta fracción exacta?"; el análisis de este capítulo pregunta, en cambio, "¿qué valor está obligado —no elegido, sino obligado— a ocupar el lugar de \(a\) elevado a un número que no es fracción de nada?". La respuesta, según probaron las Proposiciones de unicidad del §6 y del §7, no depende de ninguna decisión arbitraria: está determinada por completo en el momento en que se fija la base \(a\) y se exige continuidad con lo ya construido en \(\mathbb{Q}\).
Vale la pena notar que esta rigurosidad tardó en llegar, y que su ausencia no impidió, durante más de un siglo, que la función exponencial se usara con toda confianza. Euler, en su Introductio in analysin infinitorum de 1748, escribía expresiones como \(a^x\) para \(x\) irracional sin detenerse a preguntar qué significaba exactamente elevar un número a una potencia que no admite representación como cociente de enteros; se apoyaba, implícitamente, en la misma intuición de "aproximar por racionales" que este capítulo formalizó paso por paso, pero sin el axioma de completitud —que no se enunciaría con precisión hasta Dedekind y Cantor, más de un siglo después— para sostener esa intuición con una demostración. El resultado práctico de Euler era correcto; lo que faltaba no era el cálculo, sino la garantía de que ese cálculo tenía, en efecto, un único resultado posible. Cerrar esa brecha —entre el uso fecundo de un objeto y la certeza de que ese objeto existe y es único— fue, en gran medida, el programa del análisis real del siglo XIX, y este capítulo, en miniatura, repitió ese programa: partió de una función que ya se usaba con soltura en \(\mathbb{Q}\) y le exigió, antes de seguir adelante, que rindiera cuentas de su propia existencia en \(\mathbb{R}\).
Esa exigencia —rendir cuentas antes de operar— no es exclusiva de la potenciación, y no será la última vez que este libro la aplique. Toda vez que una operación definida sobre un conjunto discreto deba extenderse a un continuo, la estrategia general es la misma: acotar desde ambos lados con elementos del conjunto discreto, invocar la completitud para garantizar un punto de encuentro, y verificar que ese punto de encuentro no dependa de cómo se lo aproximó. El logaritmo del §4.3, al definirse como inversa de una función ya continua en todo su dominio, heredará gratuitamente buena parte de este trabajo; pero la lección metodológica —que el continuo no se alcanza por decreto, sino por una demostración específica en cada caso— vale la pena llevarla, explícita, al resto del capítulo.
Queda, sin embargo, una pregunta que este capítulo dejó deliberadamente abierta, porque no le correspondía cerrarla. Entre todas las bases posibles, \(a\in(0,1)\cup(1,\infty)\), cada una da lugar a una función exponencial genuinamente distinta, con su propia rapidez de crecimiento o de decaimiento —el §12 ya mostró cómo comparar dos de ellas mediante \((a^x)^y=a^{xy}\), pero no dijo nada sobre si alguna base ocupa un lugar privilegiado entre todas—. La pregunta que vale la pena formular, y dejar resonando hasta el §4.2, es esta: ¿existe, entre esa infinidad de bases, una que sea distinguida no por convención tipográfica ni por comodidad de cálculo —como podría parecer elegir \(a=10\), por afinidad con el sistema decimal—, sino por una propiedad estructural genuina, interna a la función misma? Concretamente: ¿hay una base para la cual la rapidez con que la función crece en cada punto coincida, exactamente, con el valor que la función tiene en ese punto? Formulada así, la pregunta todavía no tiene sentido riguroso —hace falta antes precisar qué significa "rapidez de crecimiento en un punto" para una función que no es lineal ni polinomial, noción que este libro no ha construido todavía—, pero su sola formulación ya sugiere que, si tal base existe, no será elegida: será descubierta, de la misma manera en que \(\sqrt{2}\) no fue elegido para resolver \(x^2=2\), sino que se probó, en el §1.1, que tenía que existir.
Con §12 queda cerrada la sección 4.1. El §4.2 retoma la pregunta recién planteada para construir, a partir de ella, la función exponencial natural y el número \(e\).