Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶

2.12 — Examen Modelo¶

Duración: 100 minutos. Puntaje total: 100 puntos. Material permitido: lápiz y papel; sin calculadora ni formulario. Todo resultado debe justificarse mostrando el procedimiento: una respuesta correcta sin desarrollo no recibe el puntaje completo. Cuando una función se da solo por su fórmula, su dominio es el implícito y su codominio es \(\mathbb{R}\).

Parte A — Cálculo directo (30 puntos, unos 25 minutos)¶

Seis ítems independientes de \(5\) puntos cada uno.

A1. Determine el dominio de \(f(x) = \dfrac{x+1}{\sqrt{4-x^2}}\).

A2. Sean \(f(x)=x^2-1\) y \(g(x)=\dfrac{1}{x}\). Halle \((f-g)(x)\) y su dominio.

A3. Sea \(g(x) = 2\sqrt{x+3}-4\). Identifique el prototipo del que proviene y los parámetros \(a\), \(h\), \(c\), \(k\) de la transformación, y determine \(\operatorname{Dom}(g)\) e \(\operatorname{Img}(g)\).

A4. Halle el vértice de \(f(x)=3x^2-12x+7\) y clasifíquelo como máximo o mínimo absoluto.

A5. Determine si \(f(x)=x^3+x\) es par, impar, o ninguna de las dos cosas.

A6. Sean \(f(x)=x-2\) y \(g(x)=x^2\). Calcule \((g\circ f)(x)\) y \((f\circ g)(x)\), y verifique que son funciones distintas.

Parte B — Análisis integral de una función (25 puntos, unos 25 minutos)¶

Sea \(f:[2,\infty)\to\mathbb{R}\) dada por \(f(x) = (x-2)^2+3\).

(i) [4 pts] Indique \(\operatorname{Dom}(f)\) y halle \(\operatorname{Img}(f)\).

(ii) [4 pts] Determine si tiene sentido preguntar si \(f\) es par o impar en este dominio, y justifique.

(iii) [5 pts] Demuestre, con la definición de monotonía y no con la gráfica, que \(f\) es creciente en \([2,\infty)\).

(iv) [4 pts] Determine si \(f\) es inyectiva, justificando con el criterio adecuado.

(v) [8 pts] Considerando \(f\) como función de \([2,\infty)\) en su imagen, halle \(f^{-1}\), indique su dominio y su imagen, y verifique la identidad \(f^{-1}(f(x))=x\) para \(x=5\).

Parte C — Composición y su dominio (15 puntos, unos 15 minutos)¶

Sean \(f(x) = x^2-4\) y \(g(x)=\sqrt{x}\).

(i) [5 pts] Halle \((g\circ f)(x)\) y su dominio.

(ii) [5 pts] Halle \((f\circ g)(x)\) y su dominio.

(iii) [5 pts] La fórmula simplificada de \((f\circ g)(x)\) obtenida en (ii) parece tener sentido para todo \(x\in\mathbb{R}\). Explique con precisión por qué el dominio correcto no es \(\mathbb{R}\).

Parte D — Demostración (15 puntos, unos 20 minutos)¶

D1. [15 pts] Demuestre que si \(f\) es una función impar con \(0\in\operatorname{Dom}(f)\), entonces \(f(0)=0\).

Parte E — Problema aplicado (15 puntos, unos 15 minutos)¶

Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura, en metros, transcurridos \(t\) segundos desde el lanzamiento, está dada por

\[h(t) = -5t^2+20t+1, \qquad t\ge0.\]

(i) [3 pts] Identifique \(a\), \(b\) y \(c\), y determine si \(h\) tiene un máximo o un mínimo absoluto.

(ii) [7 pts] Calcule el instante en que el objeto alcanza su altura extrema y el valor de esa altura.

(iii) [5 pts] Verifique el resultado en el contexto del problema: justifique que el instante hallado pertenece al dominio \(t\ge0\) y que la altura obtenida es físicamente razonable.

Pauta de corrección¶

Parte A¶

A1. 2 pts por plantear \(4-x^2>0\), con desigualdad estricta porque la raíz está en el denominador; 2 pts por resolverla; 1 pt por la notación de intervalo. Respuesta: \((-2,2)\).
A2. 2 pts por \((f-g)(x)=x^2-1-\dfrac{1}{x}\); 3 pts por el dominio \(\mathbb{R}\cap(\mathbb{R}\setminus\{0\})=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), justificado como intersección.
A3. 2 pts por el prototipo \(\sqrt{x}\) y los cuatro parámetros \(a=1\), \(h=-3\), \(c=2\), \(k=-4\); un prototipo erróneo invalida estos 2 pts. 1 pt por \(\operatorname{Dom}(g)=[-3,\infty)\); 2 pts por \(\operatorname{Img}(g)=[-4,\infty)\), justificada a partir de \(\operatorname{Img}(\sqrt{x})=[0,\infty)\).
A4. 2 pts por \(x=-\frac{-12}{2\cdot3}=2\); 2 pts por \(f(2)=-5\); 1 pt por la clasificación: mínimo absoluto, ya que \(3>0\).
A5. 3 pts por calcular \(f(-x)=-x^3-x\); 2 pts por la conclusión, impar, con la comparación explícita con \(-f(x)=-x^3-x\) y la observación de que \(\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\) es simétrico.
A6. 2 pts por \((g\circ f)(x)=(x-2)^2\); 2 pts por \((f\circ g)(x)=x^2-2\); 1 pt por mostrar que difieren con un valor concreto, por ejemplo en \(x=0\), donde valen \(4\) y \(-2\). Calcular ambas sin esa conclusión no recibe este punto.

Parte B¶

(i) 1 pt por el dominio \([2,\infty)\); 3 pts por \(\operatorname{Img}(f)=[3,\infty)\), probando ambas inclusiones: \(f(x)\ge3\) porque \((x-2)^2\ge0\), y cada \(y\ge3\) se alcanza en \(x=2+\sqrt{y-3}\).
(ii) 4 pts solo si se reconoce que \([2,\infty)\) no es simétrico respecto del origen, por lo que la paridad, definida en el §2.3 para dominios simétricos, no se aplica. Calcular \(f(-x)\) sin señalar este problema previo recibe como máximo \(1\) pt.
(iii) 2 pts por tomar \(2\le x_1<x_2\) y comparar \(f(x_1)\) con \(f(x_2)\); 3 pts por concluir \(f(x_1)<f(x_2)\) sin apelar a la gráfica, por ejemplo así: \(0\le x_1-2<x_2-2\) implica \((x_1-2)^2<(x_2-2)^2\), por el lema de orden del §1.2, y se suma \(3\).
(iv) 2 pts por la respuesta correcta, sí es inyectiva; 2 pts por justificarla con la monotonía probada en (iii) o con el criterio de la recta horizontal.
(v) 4 pts por el despeje hasta \(f^{-1}(x)=2+\sqrt{x-3}\), eligiendo la raíz positiva porque \(x\ge2\); 2 pts por el dominio \([3,\infty)\) y la imagen \([2,\infty)\); 2 pts por la verificación: \(f(5)=12\) y \(f^{-1}(12)=2+\sqrt{9}=5\).

Parte C¶

(i) 3 pts por \((g\circ f)(x)=\sqrt{x^2-4}\); 2 pts por el dominio \((-\infty,-2]\cup[2,\infty)\).
(ii) 3 pts por \((f\circ g)(x)=(\sqrt{x})^2-4=x-4\); 2 pts por el dominio \([0,\infty)\). Responder \(\mathbb{R}\) recibe \(0\) pts en este tramo.
(iii) Los \(5\) pts se otorgan solo por el argumento: el dominio de \(f\circ g\) exige \(x\in\operatorname{Dom}(g)\), es decir \(x\ge0\), antes de aplicar \(f\), y la simplificación algebraica posterior no recupera esa restricción; es el mismo fenómeno de las simplificaciones del §1.4 y de la igualdad de funciones del §2.2. Una respuesta que solo diga "porque así da la cuenta" recibe \(0\) pts.

Parte D¶

5 pts por aplicar la definición de función impar en \(x=0\), que es válido porque \(0\in\operatorname{Dom}(f)\): \(f(-0)=-f(0)\).
5 pts por reconocer explícitamente que \(-0=0\) y, por lo tanto, \(f(-0)=f(0)\).
5 pts por combinar ambas igualdades en \(f(0)=-f(0)\), concluir \(2f(0)=0\) y obtener \(f(0)=0\).

Parte E¶

(i) 2 pts por \(a=-5\), \(b=20\), \(c=1\); 1 pt por la clasificación, máximo absoluto, solo si se justifica con el signo de \(a\).
(ii) 3 pts por \(t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{20}{2\cdot(-5)}=2\); 4 pts por \(h(2)=-20+40+1=21\), con el cálculo explícito.
(iii) 2 pts por verificar que \(t=2\ge0\), de modo que el vértice está en el dominio y el máximo de la fórmula es también el máximo del problema; 3 pts por argumentar que \(21\) m es una altura razonable, positiva y mayor que la altura inicial \(h(0)=1\) m.

Con el examen modelo y su pauta de corrección, el Capítulo 2 completa su ciclo: desarrollo teórico, síntesis, autoevaluación por niveles y un instrumento de evaluación final. Los capítulos siguientes retoman este mismo aparato, dominio, transformación, composición e inversa, y lo aplican a familias de funciones concretas.