Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶

Examen Modelo¶

Duración: 100 minutos. Puntaje total: 100 puntos. Material permitido: lápiz, papel; sin calculadora ni formulario. Todo resultado debe justificarse mostrando el procedimiento: una respuesta correcta sin desarrollo no recibe el puntaje completo.

Parte A — Cálculo directo (30 puntos, ≈25 minutos)¶

Seis ítems independientes. Cada uno vale \(5\) puntos.

A1. Determine el dominio de \(f(x) = \dfrac{x+1}{\sqrt{4-x^2}}\).

A2. Sean \(f(x)=x^2-1\) y \(g(x)=\dfrac{1}{x}\). Halle \((f-g)(x)\) y su dominio.

A3. Sea \(g(x) = 2\sqrt{x+3}-4\). Identifique el prototipo del que proviene y los parámetros \(a,h,c,k\) de la transformación, y determine \(\text{Dom}(g)\) e \(\text{Img}(g)\).

A4. Halle el vértice de \(f(x)=3x^2-12x+7\) y clasifíquelo como máximo o mínimo absoluto.

A5. Determine si \(f(x)=x^3+x\) es par, impar, o ninguna de las dos cosas.

A6. Sean \(f(x)=x-2\) y \(g(x)=x^2\). Calcule \((g\circ f)(x)\) y \((f\circ g)(x)\), y verifique que son distintas.

Parte B — Análisis integral de una función (25 puntos, ≈25 minutos)¶

Sea \(f(x) = (x-2)^2+3\), con dominio explícito \([2,\infty)\).

(i) [4 pts] Halle \(\text{Dom}(f)\) e \(\text{Img}(f)\).

(ii) [4 pts] Determine si tiene sentido preguntar si \(f\) es par o impar sobre este dominio explícito, y justifique su respuesta.

(iii) [5 pts] Demuestre, a partir de la definición formal de monotonía —no de la gráfica—, que \(f\) es creciente en \([2,\infty)\).

(iv) [4 pts] Determine si \(f\) es inyectiva en este dominio, justificando con el criterio adecuado.

(v) [8 pts] Halle \(f^{-1}\), indicando su dominio e imagen, y verifique la identidad \(f^{-1}(f(x))=x\) para \(x=5\).

Parte C — Composición y su dominio (15 puntos, ≈15 minutos)¶

Sean \(f(x) = x^2-4\) y \(g(x)=\sqrt{x}\).

(i) [5 pts] Halle \((g\circ f)(x)\) y su dominio.

(ii) [5 pts] Halle \((f\circ g)(x)\) y su dominio.

(iii) [5 pts] La fórmula simplificada de \((f\circ g)(x)\) obtenida en (ii) parece estar definida para todo \(x\in\mathbb{R}\). Explique, con precisión, por qué el dominio correcto no es \(\mathbb{R}\).

Parte D — Demostración (15 puntos, ≈20 minutos)¶

D1. [15 pts] Demuestre que si \(f\) es una función impar con \(0\in\text{Dom}(f)\), entonces \(f(0)=0\).

Parte E — Problema aplicado (15 puntos, ≈15 minutos)¶

Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura, en metros, transcurridos \(t\) segundos desde el lanzamiento, está dada por

\[h(t) = -5t^2+20t+1, \qquad t\ge0\]

(i) [3 pts] Identifique \(a\), \(b\) y \(c\), y determine si \(h\) tiene un máximo o un mínimo absoluto.

(ii) [7 pts] Calcule el instante en que el objeto alcanza su altura extrema, y el valor de esa altura.

(iii) [5 pts] Verifique el resultado en el contexto del problema: justifique que el instante hallado pertenece al dominio \(t\ge0\), y que la altura obtenida es físicamente razonable.

Pauta de Corrección¶

Parte A (5 pts cada ítem — todo o nada, salvo aclaración)¶

A1. 2 pts por plantear \(4-x^2>0\) (desigualdad estricta, por el radical en el denominador); 2 pts por resolverla correctamente; 1 pt por la notación de intervalo. Respuesta: \((-2,2)\).
A2. 2 pts por la expresión \(x^2-1-\dfrac{1}{x}\); 3 pts por el dominio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) con justificación de la intersección.
A3. 1 pt por cada parámetro correcto (\(a=1,h=-3,c=2,k=-4\)); no se exige identificar el prototipo por escrito si los cuatro parámetros son correctos, pero un prototipo erróneo invalida el resto.
A4. 2 pts por el vértice \(x=2\); 2 pts por \(f(2)=-5\); 1 pt por la clasificación correcta (mínimo, ya que \(a=3>0\)).
A5. 3 pts por calcular \(f(-x)\) correctamente; 2 pts por la conclusión (impar) con la comparación explícita a \(-f(x)\).
A6. 2 pts por cada composición correcta; 1 pt por señalar explícitamente que difieren (no alcanza con calcular ambas sin la conclusión).

Parte B¶

(i) 2 pts dominio, 2 pts imagen (se acepta \(\text{Img}(f)=[3,\infty)\) justificada por el vértice o por monotonía).
(ii) 4 pts solo si el alumno reconoce que \([2,\infty)\) no es simétrico respecto del origen y que, por lo tanto, la pregunta de paridad no se aplica —según la exigencia del §2.3 §4—. Calcular \(f(-x)\) sin señalar este problema previo, aunque se llegue a una conclusión, recibe como máximo \(1\) pt.
(iii) 2 pts por plantear correctamente \(x_1<x_2\) en \([2,\infty)\) y comparar \(f(x_1)\) con \(f(x_2)\); 3 pts por completar la desigualdad algebraica hasta \(f(x_1)<f(x_2)\) sin apelar a la gráfica.
(iv) 2 pts por la respuesta correcta (sí, inyectiva); 2 pts por justificarla mediante la monotonía ya probada en (iii), o mediante el criterio de la recta horizontal.
(v) 4 pts por el despeje correcto hasta \(f^{-1}(x)=2+\sqrt{x-3}\); 2 pts por indicar dominio \([3,\infty)\) e imagen \([2,\infty)\); 2 pts por la verificación numérica en \(x=5\) (\(f(5)=12\), \(f^{-1}(12)=5\)).

Parte C¶

(i) 3 pts por \(\sqrt{x^2-4}\); 2 pts por el dominio \((-\infty,-2]\cup[2,\infty)\).
(ii) 3 pts por la fórmula simplificada \(x-4\); 2 pts por el dominio correcto \([0,\infty)\) —otorgar \(0\) pts en este segundo tramo si el alumno responde \(\mathbb{R}\)—.
(iii) Puntaje binario por argumento correcto, no por la conclusión sola: se otorgan los \(5\) pts únicamente si el alumno explica que el dominio de \(g\circ f\) exige \(x\in\text{Dom}(g)\) antes de aplicar \(f\), y que la simplificación algebraica posterior no recupera esa restricción —el mismo fenómeno señalado en el §1.4 y el §2.2 §3—. Una respuesta que solo repita "porque así da la cuenta" recibe \(0\) pts.

Parte D¶

5 pts por plantear \(f(-0)=-f(0)\) a partir de la definición de función impar.
5 pts por reconocer explícitamente que \(-0=0\), y por lo tanto \(f(-0)=f(0)\).
5 pts por combinar ambas igualdades en \(f(0)=-f(0)\), concluir \(2f(0)=0\), y despejar \(f(0)=0\).

Parte E¶

(i) 1 pt por cada valor correcto de \(a,b,c\); no se otorga el punto de clasificación si no se menciona explícitamente el signo de \(a\) como justificación.
(ii) 3 pts por el cálculo correcto de \(t=-b/2a=2\); 4 pts por \(h(2)=21\), con desarrollo explícito del cálculo (no solo el resultado).
(iii) 2 pts por verificar \(t=2\ge0\); 3 pts por argumentar que \(h(2)=21>0\) es razonable como altura, y —para el puntaje completo— por señalar que el dominio del problema físico, \(t\ge0\), ya excluía de antemano cualquier solución negativa que la fórmula pudiera producir en otro contexto.

Con el examen modelo y su pauta de corrección, el Capítulo 2 completa su ciclo íntegro: desarrollo teórico, síntesis, autoevaluación progresiva por niveles, y finalmente un instrumento de evaluación sumativa. El Capítulo 3 retoma este mismo aparato —dominio, transformación, composición, inversa— y lo aplica a una familia de funciones concreta.