Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.8 — Optimización y Valores Extremos: Comportamiento Local¶
Antes de preguntar cómo se calcula lo óptimo, hay que preguntar qué significa, con precisión, que un valor sea el mejor.
Todas las propiedades estudiadas hasta ahora en este capítulo describen a una función en su totalidad, o al menos en tramos extensos de su dominio: monotonía, simetría, comportamiento asintótico. Esta sección final se ocupa, en cambio, de puntos aislados: aquellos donde una función alcanza su valor más alto o más bajo, ya sea en todo su dominio o solo en un entorno inmediato. Es, por eso, la primera sección del capítulo genuinamente concentrada en el comportamiento local de una función, y también la que exige, por su propia naturaleza, ser más explícita que ninguna otra sobre los límites de lo que puede lograrse sin las herramientas del cálculo diferencial, que todavía no están disponibles en este libro.
§1. Extremos absolutos y relativos¶
Definición. Sea \(f\) una función y \(c\in\text{Dom}(f)\). Se dice que \(f\) tiene un máximo absoluto en \(c\) si \(f(c)\ge f(x)\) para todo \(x\in\text{Dom}(f)\); en tal caso, \(f(c)\) es el valor máximo absoluto de \(f\). Análogamente, \(f\) tiene un mínimo absoluto en \(c\) si \(f(c)\le f(x)\) para todo \(x\in\text{Dom}(f)\).
La palabra "absoluto" señala que la comparación se hace contra todo el dominio, sin excepción. Hay, sin embargo, una noción más modesta y más local, que solo exige ser el mejor valor dentro de una vecindad inmediata —la misma noción de entorno fijada en el §1.1 §8, y reutilizada ya para el comportamiento asintótico del §2.4—.
Definición. Sea \(f\) una función y \(c\in\text{Dom}(f)\). Se dice que \(f\) tiene un máximo relativo (o local) en \(c\) si existe \(\delta>0\) tal que
y, análogamente, un mínimo relativo en \(c\) si \(f(c)\le f(x)\) para todo \(x\) en ese mismo entorno.
Todo extremo absoluto que se alcance en un punto interior del dominio —no en un extremo aislado del intervalo, como los bordes de \([0,\infty)\) en el catálogo del §2.4— es, automáticamente, también un extremo relativo: si \(f(c)\) es el mayor valor de todo el dominio, en particular es el mayor valor dentro de cualquier entorno de \(c\). La recíproca es falsa: un máximo relativo puede no ser el mayor valor de toda la función, sino solo el mayor en su vecindad inmediata, con valores todavía más altos en otra región del dominio.
![Una curva en el intervalo [a,b] con un máximo relativo y un mínimo relativo interiores, y sus extremos absolutos en los bordes a y b](../../../assets/figuras/02-08-extremos-absolutos-relativos.svg)
Figura 2.6 — Extremos relativos interiores (máximo y mínimo locales) frente a los extremos absolutos, alcanzados aquí en la frontera \(a\) y \(b\) del intervalo. La curva es esquemática: no proviene de ninguna de las tres herramientas del §4, solo ilustra el vocabulario de esta definición.
Recordatorio. Absoluto: el mejor valor en todo el dominio. Relativo: el mejor valor en algún entorno \((c-\delta,c+\delta)\) del punto, sin comparar con el resto del dominio. Todo extremo absoluto interior es relativo; no toda extremo relativo es absoluto.
§2. Extremos de funciones cuadráticas: el vértice¶
El caso más accesible, y el más frecuente en las aplicaciones de este nivel, es el de una función cuadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\), con \(a\neq0\). El §1.3 §3 ya completó el cuadrado para deducir la fórmula general de sus ceros; el mismo cálculo, leído con otro propósito, entrega directamente su extremo absoluto.
Proposición. Sea \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a\neq0\), y \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(a>0\), \(f\) tiene un mínimo absoluto en \(x=-\dfrac{b}{2a}\), con valor mínimo \(-\dfrac{\Delta}{4a}\). Si \(a<0\), \(f\) tiene, en el mismo punto, un máximo absoluto con ese mismo valor.
Demostración. Completando el cuadrado, exactamente como en el §1.3 §3,
Si \(a>0\), el término \(a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\) es siempre no negativo —producto de \(a>0\) por un cuadrado—, y vale exactamente \(0\) cuando \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Por lo tanto, \(f(x)\ge -\dfrac{\Delta}{4a}\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), con igualdad únicamente en ese punto: un mínimo absoluto. Si \(a<0\), el mismo término es siempre no positivo, invirtiendo la desigualdad y dando, en su lugar, un máximo absoluto. \(\blacksquare\)
Este resultado no requirió ninguna herramienta nueva: es, literalmente, el mismo cálculo que ya produjo la fórmula cuadrática, mirado desde otro ángulo. El signo de \(a\) decide, geométricamente, si la parábola "abre hacia arriba" —y entonces su punto más bajo es un mínimo absoluto— o "abre hacia abajo" —con un máximo absoluto en su lugar—, y el punto \(x=-b/2a\), el vértice, es el único candidato en ambos casos.
Ejemplo. Retomando el problema geométrico del §1.6 §5: un rectángulo de ancho \(x\) y largo \(x+4\) tenía área \(A(x)=x(x+4)=x^2+4x\). Esta es una función cuadrática con \(a=1>0\), de modo que \(A\) tiene un mínimo absoluto —no un máximo— en \(x=-4/2=-2\), con valor \(A(-2)=4-8=-4\). Este resultado, aunque correcto algebraicamente, carece de sentido para el problema original: un ancho no puede ser negativo, y un área tampoco. La verificación en contexto, exigida ya en el §1.6 §1 para cualquier problema aplicado, es aquí más urgente que nunca: el extremo absoluto de la fórmula solo es relevante si cae dentro del dominio que el problema físico permite, típicamente \(x>0\) en este caso, donde \(A\) resulta creciente sin extremo interior alguno.
Recordatorio. Para \(f(x)=ax^2+bx+c\): vértice en \(x=-b/2a\), valor extremo \(-\Delta/4a\). Mínimo si \(a>0\), máximo si \(a<0\). El resultado algebraico exige la misma verificación de contexto que cualquier problema aplicado del §1.6.
§3. Extremos mediante monotonía¶
Cuando una función no es cuadrática pero su monotonía ya se conoce —por el análisis del §2.3, o por herencia de un prototipo transformado según el §2.5—, los extremos en un intervalo cerrado se deducen sin cálculo adicional, directamente de la definición de monotonía del §2.3 §5.
Proposición. Si \(f\) es creciente en \([p,q]\), entonces \(f\) alcanza su mínimo absoluto en ese intervalo en \(x=p\) y su máximo absoluto en \(x=q\). Si \(f\) es decreciente en \([p,q]\), los extremos se invierten.
Demostración. Si \(f\) es creciente en \([p,q]\), para todo \(x\in[p,q]\) se tiene \(p\le x\), y por la definición de creciente del §2.3 §5 —aplicada de manera no estricta en los extremos— \(f(p)\le f(x)\); análogamente, \(x\le q\) da \(f(x)\le f(q)\). Luego \(f(p)\le f(x)\le f(q)\) para todo \(x\in[p,q]\): \(f(p)\) es el mínimo y \(f(q)\) el máximo. El caso decreciente es simétrico. \(\blacksquare\)
Ejemplo. \(f(x)=\sqrt{x}\) es creciente en todo \([0,\infty)\), según el catálogo del §2.4; restringida al intervalo \([0,9]\), alcanza su mínimo absoluto \(f(0)=0\) y su máximo absoluto \(f(9)=3\), sin necesidad de ningún cálculo adicional más allá de evaluar la función en los extremos del intervalo.
§4. La desigualdad entre las medias, y extremos bajo restricción¶
Hay un tipo de problema de optimización que no encaja directamente en ninguno de los dos casos anteriores: aquel en que dos cantidades están ligadas por una restricción —por ejemplo, una suma fija—, y se busca el extremo de una tercera cantidad construida a partir de ambas —por ejemplo, su producto—. Una desigualdad clásica, demostrable con las herramientas ya disponibles, resuelve una familia amplia de estos problemas sin necesidad de reducirlos primero a una función de una sola variable.
Proposición (desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica). Para \(a,b\ge0\),
con igualdad si y solo si \(a=b\).
Demostración. Como \(\sqrt{a}\) y \(\sqrt{b}\) existen en \(\mathbb{R}\) por ser \(a,b\ge0\), y todo cuadrado real es no negativo,
usando \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) del §1.2 §5. Dividiendo por \(2\) se obtiene la desigualdad. La igualdad en \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge0\) ocurre exactamente cuando \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\), es decir, cuando \(a=b\). \(\blacksquare\)
Esta desigualdad —abreviada habitualmente AM-GM, por sus iniciales en inglés— permite resolver de un solo golpe una clase de problemas de optimización con restricción, sin pasar por la construcción explícita de una función de una variable.
Ejemplo. Entre todos los rectángulos de perímetro fijo \(P\), ¿cuál tiene área máxima? Sean \(x,y>0\) los lados; el perímetro fijo da \(2x+2y=P\), es decir \(x+y=P/2\), una cantidad constante. Por la desigualdad AM-GM aplicada a \(x\) e \(y\),
El área \(xy\) nunca supera \(P^2/16\), y por la condición de igualdad de la proposición, ese máximo se alcanza exactamente cuando \(x=y\) —es decir, cuando el rectángulo es, en particular, un cuadrado de lado \(P/4\)—. Nótese lo que se logró sin construir ninguna función de una sola variable ni completar ningún cuadrado: la restricción y la cantidad a maximizar se combinaron directamente a través de la desigualdad.
Recordatorio. \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) para \(a,b\ge0\), con igualdad si y solo si \(a=b\). Útil quando una suma es fija y se busca el extremo de un producto —o viceversa—, sin necesidad de reducir el problema a una función de una variable.
§5. Nota de frontera metodológica¶
Las tres herramientas presentadas —vértice de una parábola, comparación directa por monotonía, y la desigualdad AM-GM— resuelven una franja significativa de los problemas de optimización que pueden plantearse en este nivel, pero está lejos de ser una técnica general. Ninguna de las tres dice nada sobre el extremo de, por ejemplo, \(f(x)=x^3-3x\), una función que no es cuadrática, cuya monotonía cambia de sentido en un punto que ninguna de estas herramientas permite localizar sin tanteo, y que no se deja acomodar en el molde de una suma fija con producto variable. Determinar extremos relativos de funciones arbitrarias —sin depender de que la función tenga, por casualidad, una de estas tres estructuras particulares— es, precisamente, uno de los problemas que motivan la introducción del cálculo diferencial más adelante en este libro, con una herramienta —la derivada— capaz de localizar extremos relativos sin necesidad de conocer de antemano la forma específica de la función. Lo desarrollado en esta sección no es, entonces, un método general disfrazado de caso particular, sino exactamente lo que su título anuncia: una introducción al comportamiento local, resuelta con los medios disponibles hasta este punto del libro.
La búsqueda de un extremo —el mayor, el menor, el más eficiente— no es una preocupación exclusiva de esta sección, ni siquiera de la matemática en general. Un rayo de luz recorre, entre dos puntos, el camino que minimiza el tiempo de viaje; una pompa de jabón adopta, entre todas las formas posibles que encierran un volumen dado, la que minimiza su superficie; una colonia de hormigas construye rutas que aproximan, sin cálculo consciente alguno, un trayecto de longitud mínima. Que la naturaleza física y biológica parezca, una y otra vez, resolver problemas de optimización — sin ecuaciones, sin álgebra, sin nada parecido a la desigualdad AM-GM— es una de las coincidencias más persistentes entre la estructura matemática y el comportamiento del mundo. Queda abierta la pregunta de si esa coincidencia revela algo profundo sobre cómo está hecho el mundo, o si es, más bien, la matemática la que encuentra economía y eficiencia en todas partes porque son, de las estructuras posibles, las más simples de describir.
Con los extremos absolutos y relativos ya precisados —incluidos los límites de lo que puede lograrse sin el cálculo diferencial—, el Capítulo 2 completa su recorrido: de la función como relación conjuntista, pasando por su dominio, su comportamiento global, sus prototipos y transformaciones, su álgebra y composición, su reversibilidad, hasta este primer contacto con la optimización. Ese recorrido completo queda sintetizado, junto con una perspectiva histórica sobre el concepto mismo de función, en el cierre del capítulo.