Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.8 — Optimización y Valores Extremos: Comportamiento Local¶
Antes de preguntar cómo se calcula lo óptimo, hay que preguntar qué significa, con precisión, que un valor sea el mejor.
Las propiedades estudiadas hasta ahora describen a una función en su totalidad, o al menos en tramos extensos de su dominio: la monotonía, la simetría, el comportamiento asintótico. Esta sección se ocupa, en cambio, de puntos aislados: aquellos en los que una función alcanza su valor más alto o más bajo, sea en todo su dominio o solo cerca del punto. Es la primera sección del capítulo dedicada al comportamiento local de una función, y también la que más debe aclarar hasta dónde se puede llegar sin las herramientas del Cálculo, que este libro no incluye.
§1. Extremos absolutos y relativos¶
Definición. Sean \(f\) una función y \(c \in \operatorname{Dom}(f)\). Decimos que \(f\) tiene un máximo absoluto en \(c\) si \(f(c) \ge f(x)\) para todo \(x \in \operatorname{Dom}(f)\); en ese caso, \(f(c)\) es el valor máximo de \(f\). Del mismo modo, \(f\) tiene un mínimo absoluto en \(c\) si \(f(c) \le f(x)\) para todo \(x \in \operatorname{Dom}(f)\).
La palabra "absoluto" indica que la comparación se hace contra todo el dominio. Hay una noción más modesta, que solo exige ser el mejor valor cerca del punto, y que usa el entorno del §1.1, el mismo que apareció en el §2.4.
Definición. Sean \(f\) una función y \(c \in \operatorname{Dom}(f)\). Decimos que \(f\) tiene un máximo relativo, o local, en \(c\) si existe \(\delta > 0\) tal que
y un mínimo relativo en \(c\) si \(f(c) \le f(x)\) para todo \(x\) de ese mismo conjunto. Los máximos y mínimos se llaman, en conjunto, extremos.
Con esta definición, todo extremo absoluto es también relativo: si \(f(c)\) es el mayor valor de todo el dominio, en particular es el mayor dentro de cualquier entorno de \(c\). La recíproca es falsa: un máximo relativo puede ser el mayor valor solo cerca de \(c\), con valores más altos en otra parte del dominio.
![Una curva en el intervalo [a,b] con un máximo relativo y un mínimo relativo interiores, y sus extremos absolutos en los bordes a y b](../../../assets/figuras/02-08-extremos-absolutos-relativos.svg)
Figura 2.6 — Extremos relativos interiores (un máximo y un mínimo locales) frente a los extremos absolutos, alcanzados aquí en los bordes \(a\) y \(b\) del intervalo. La curva es esquemática: ilustra el vocabulario de esta definición, no el resultado de las herramientas de esta sección.
Recordatorio. Absoluto: el mejor valor en todo el dominio. Relativo: el mejor valor en algún entorno \((c - \delta, c + \delta)\) del punto. Todo extremo absoluto es relativo; no todo extremo relativo es absoluto.
§2. Extremos de funciones cuadráticas: el vértice¶
El caso más accesible, y el más frecuente en las aplicaciones de este nivel, es el de una función cuadrática \(f(x) = ax^2 + bx + c\), con \(a \neq 0\). El §1.3 completó el cuadrado para factorizar el trinomio; la misma cuenta, leída con otro propósito, da el extremo de la función.
Proposición. Sean \(f(x) = ax^2 + bx + c\), con \(a \neq 0\), y \(\Delta = b^2 - 4ac\). Si \(a > 0\), \(f\) tiene un mínimo absoluto en \(x = -\dfrac{b}{2a}\), con valor \(-\dfrac{\Delta}{4a}\). Si \(a < 0\), tiene en el mismo punto un máximo absoluto con ese mismo valor.
Demostración. Completando el cuadrado como en el §1.3,
Si \(a > 0\), el término \(a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2\) es el producto de un positivo por un cuadrado, así que nunca es negativo, y vale \(0\) exactamente cuando \(x = -\frac{b}{2a}\). Por lo tanto \(f(x) \ge -\frac{\Delta}{4a}\) para todo \(x \in \mathbb{R}\), con igualdad solo en ese punto. Si \(a < 0\), el mismo término nunca es positivo, la desigualdad se invierte y se obtiene un máximo absoluto. \(\blacksquare\)
El signo de \(a\) decide si la parábola abre hacia arriba, y entonces su punto más bajo es un mínimo absoluto, o hacia abajo, con un máximo absoluto. El punto \(\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)\) de la gráfica se llama vértice.
Ejemplo. Entre todos los rectángulos de perímetro \(20\), ¿cuál tiene mayor área? Si un lado mide \(x\), el otro mide \(10 - x\), con \(0 < x < 10\), y el área es \(A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x\). Aquí \(a = -1 < 0\), y la proposición da un máximo absoluto en \(x = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5\), con área \(A(5) = 25\). El rectángulo óptimo es el cuadrado de lado \(5\). El vértice cae dentro del dominio que permite el problema, el intervalo \((0, 10)\), y por eso es la respuesta.
Esa última comprobación no es un detalle. En el problema geométrico del §1.6, el área era \(A(x) = x(x + 4) = x^2 + 4x\). Con \(a = 1 > 0\), la proposición da un mínimo absoluto en \(x = -2\), con valor \(A(-2) = -4\). El resultado es correcto como afirmación sobre la fórmula, pero no dice nada sobre el problema: un ancho no puede ser negativo, ni un área tampoco. Como en el §1.6, el extremo de una fórmula solo importa si cae dentro del dominio que el problema permite, aquí \(x > 0\), donde \(A\) es creciente y no tiene ningún extremo.
Recordatorio. Para \(f(x) = ax^2 + bx + c\), el vértice está en \(x = -\frac{b}{2a}\) y el valor extremo es \(-\frac{\Delta}{4a}\): mínimo si \(a > 0\), máximo si \(a < 0\). En un problema aplicado hay que verificar que el vértice caiga en el dominio que el problema permite.
§3. Extremos mediante monotonía¶
Cuando una función no es cuadrática pero se conoce su monotonía, por el análisis del §2.3 o porque proviene de un prototipo transformado según el §2.5, sus extremos en un intervalo cerrado salen de la definición de monotonía.
Proposición. Si \(f\) es creciente en \([p, q]\), entonces su mínimo absoluto en ese intervalo está en \(x = p\) y su máximo absoluto en \(x = q\). Si \(f\) es decreciente en \([p, q]\), los papeles se invierten.
Demostración. Supongamos \(f\) creciente en \([p, q]\) y sea \(x \in [p, q]\). Si \(x = p\), entonces \(f(p) = f(x)\); si \(p < x\), la definición del §2.3 da \(f(p) < f(x)\). En los dos casos, \(f(p) \le f(x)\). Del mismo modo, \(f(x) \le f(q)\). Por lo tanto \(f(p) \le f(x) \le f(q)\) para todo \(x \in [p, q]\). El caso decreciente es análogo. \(\blacksquare\)
Ejemplo. La función \(\sqrt{x}\) es creciente en \([0, \infty)\) (§2.4). Restringida al intervalo \([0, 9]\), su mínimo absoluto es \(\sqrt{0} = 0\) y su máximo absoluto es \(\sqrt{9} = 3\), sin más cálculo que evaluar en los extremos del intervalo.
Recordatorio. Una función creciente en \([p, q]\) alcanza su mínimo en \(p\) y su máximo en \(q\); una decreciente, al revés.
§4. La desigualdad entre las medias y los extremos con restricción¶
Hay un tipo de problema que no encaja en los casos anteriores: aquel en que dos cantidades están ligadas por una restricción, por ejemplo una suma fija, y se busca el extremo de una tercera construida con ellas, por ejemplo su producto. Una desigualdad clásica resuelve muchos de estos problemas sin reducirlos a una función de una sola variable.
Proposición (desigualdad entre la media aritmética y la geométrica). Para \(a, b \ge 0\),
con igualdad si y solo si \(a = b\).
Demostración. Como \(a, b \ge 0\), las raíces \(\sqrt{a}\) y \(\sqrt{b}\) existen (§1.2), y como ningún cuadrado real es negativo (§1.3),
donde usamos \(\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}\) (§1.2). Dividiendo por \(2\) se obtiene la desigualdad. La igualdad vale si y solo si \(\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2 = 0\), es decir, si \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\), y por la unicidad de la raíz, si \(a = b\). \(\blacksquare\)
El número \(\frac{a + b}{2}\) es la media aritmética de \(a\) y \(b\), y \(\sqrt{ab}\), su media geométrica. La desigualdad suele abreviarse AM-GM, por sus iniciales en inglés.
Ejemplo. Generalicemos el ejemplo del §2: entre todos los rectángulos de perímetro \(P\), ¿cuál tiene mayor área? Sean \(x, y > 0\) los lados. El perímetro fijo da \(2x + 2y = P\), es decir, \(x + y = \frac{P}{2}\). Por la desigualdad,
donde en el último paso elevamos al cuadrado dos números no negativos, lo que conserva el sentido por el lema del §1.2. El área nunca supera \(\frac{P^2}{16}\), y por la condición de igualdad ese valor se alcanza exactamente cuando \(x = y = \frac{P}{4}\): el rectángulo óptimo es el cuadrado. Con \(P = 20\) se recupera el resultado del §2. La restricción y la cantidad a maximizar se combinaron directamente, sin construir una función de una sola variable.
Recordatorio. \(\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}\) para \(a, b \ge 0\), con igualdad si y solo si \(a = b\). Sirve cuando una suma es fija y se busca el máximo de un producto, o al revés.
§5. Hasta dónde llegan estas herramientas¶
Las tres herramientas de esta sección, el vértice de la parábola, la monotonía y la desigualdad AM-GM, resuelven una parte importante de los problemas de optimización de este nivel, pero no forman un método general. Ninguna de las tres dice dónde están los extremos relativos de, por ejemplo, \(f(x) = x^3 - 3x\): no es cuadrática, su monotonía cambia de sentido en puntos que estas herramientas no permiten localizar sin conocerlos de antemano, y no tiene la forma de una suma fija con un producto variable. Determinar los extremos de funciones cualesquiera, sin depender de que tengan una de estas estructuras particulares, es uno de los problemas que motivan el Cálculo diferencial, con una herramienta, la derivada, capaz de localizar los extremos relativos sin conocer de antemano la forma de la función. Lo desarrollado aquí no es un método general disfrazado de caso particular, sino lo que anuncia el título: una introducción al comportamiento local con los medios disponibles en este libro.
La búsqueda de un extremo, el mayor, el menor, el más eficiente, no es una preocupación exclusiva de esta sección ni de la matemática. Un rayo de luz recorre entre dos puntos el camino que minimiza el tiempo de viaje; una pompa de jabón adopta, entre todas las formas que encierran un volumen dado, la de menor superficie; una colonia de hormigas construye rutas que se aproximan, sin cálculo consciente, a un trayecto de longitud mínima. Que la naturaleza parezca resolver una y otra vez problemas de optimización, sin ecuaciones ni desigualdades, es una de las coincidencias más persistentes entre la estructura matemática y el comportamiento del mundo. Queda abierta la pregunta de si esa coincidencia revela algo profundo sobre cómo está hecho el mundo, o si es la matemática la que encuentra economía en todas partes porque esas son, de todas las estructuras posibles, las más simples de describir.
Con los extremos precisados, incluidos los límites de lo que se puede lograr sin el Cálculo, el capítulo completa su recorrido técnico: de la función como conjunto de pares a su dominio, su comportamiento global, sus prototipos y transformaciones, su álgebra y composición, su reversibilidad y este primer contacto con la optimización. La sección siguiente cierra el capítulo con una mirada histórica sobre el concepto mismo de función.