Capítulo 9 - Las Cónicas como Lugares Geométricos¶

En el capítulo 2 las curvas llegaban dadas por una fórmula, y la tarea era estudiar la gráfica que esa fórmula determinaba. Este capítulo invierte la dirección. Cada curva se define por una propiedad de sus puntos, una condición sobre distancias, y su ecuación debe deducirse con la obligación de probar que describe exactamente esos puntos, sin perder ninguno ni agregar otros. La circunferencia del §1.8 fue el primer caso de este procedimiento. Aquí se convierte en método, y el método produce, a partir de tres condiciones métricas muy simples, las tres curvas que los griegos obtuvieron cortando un cono: la parábola, la elipse y la hipérbola.

El capítulo sigue dos hilos. El primero es la unidad de las cónicas. Definidas al principio por condiciones distintas, resultan ser los tres casos de una sola definición, la de excentricidad, y los tres tipos de una sola ecuación de segundo grado, que se clasifica por el signo de un único número, el discriminante \(B^2-4AC\). La prueba de que ese número no cambia al girar los ejes usa las matrices de rotación y la multiplicatividad del determinante del capítulo 8. El segundo hilo es la libertad de elegir coordenadas. Una misma curva tiene ecuaciones simples o complicadas según el sistema desde el cual se la describa, y el capítulo recorre tres cambios de punto de vista: la traslación del origen, la rotación de los ejes y, finalmente, el abandono de las coordenadas cartesianas por las polares, en las que las tres cónicas comparten una sola ecuación.

Contenido del capítulo¶

9.1 La Ecuación de un Lugar: Lugar geométrico como conjunto definido por una condición métrica; ecuación de un lugar y las dos inclusiones que exige; soluciones extrañas al elevar al cuadrado; la mediatriz; traslación de ejes e invariancia de las distancias.
9.2 Foco y Directriz: La parábola como conjunto de puntos equidistantes de un punto y una recta; ecuación canónica y su recíproca; eje, vértice y parámetro; la recta que toca la parábola en un solo punto y la propiedad de reflexión, sin derivadas.
9.3 Suma y Diferencia de Distancias: Elipse e hipérbola como cónicas con centro; ecuaciones canónicas a partir de \(|PF_1|\pm|PF_2|=2a\); vértices, ejes y la relación entre \(a\), \(b\) y \(c\); asíntotas de la hipérbola.
9.4 La Excentricidad: Definición unificada por el cociente \(|PF|/d(P,\ell)=e\); equivalencia con las definiciones anteriores según \(e=1\), \(e<1\) o \(e>1\); la circunferencia como caso límite.
9.5 La Ecuación General sin Término Mixto: Completamiento de cuadrados y reducción a forma canónica trasladada; casos degenerados; interiores de cónicas como regiones del plano y convexidad.
9.6 Rotación y Discriminante: Eliminación del término \(Bxy\) mediante matrices de rotación; invariancia de \(B^2-4AC\) por la multiplicatividad del determinante; clasificación completa de la ecuación de segundo grado.
9.7 Coordenadas Polares: El plano descrito por distancia y ángulo; no unicidad de la representación; conversión con las coordenadas cartesianas; curvas \(r=f(\theta)\) y sus simetrías.
9.8 Las Cónicas desde el Foco: La ecuación \(r=\dfrac{ed}{1\pm e\cos\theta}\) deducida de la excentricidad.
9.9 Cierre - Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas: Menecmo y la duplicación del cubo; Apolonio; las esferas de Dandelin; Descartes y Fermat, la curva convertida en ecuación; Kepler y la órbita elíptica.

"Tres condiciones sobre distancias, una sola definición, una sola ecuación: las cónicas son la primera familia de curvas que la matemática comprendió como familia."