Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.7 — Desigualdades¶
Una ecuación pregunta dónde dos expresiones coinciden; una desigualdad, dónde una supera a la otra.
Así como una ecuación busca los valores donde dos expresiones son iguales, una desigualdad busca los valores donde una es mayor, menor, o distinta de la otra. El conjunto solución de una desigualdad no suele ser un punto aislado, como en una ecuación, sino un intervalo o una unión de intervalos —la notación fijada en el §1.1 vuelve a ser, aquí, la herramienta natural para expresar la respuesta—.
§1. Desigualdades lineales¶
Resolver una desigualdad lineal se apoya en las mismas operaciones que resolver una ecuación lineal, con una salvedad que merece justificarse y no solo enunciarse: multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
Proposición. Si \(a<b\) y \(c<0\), entonces \(ac>bc\).
Demostración. Como \(a<b\), se tiene \(b-a>0\). Multiplicar una cantidad positiva por \(-c\) —positivo, pues \(c<0\)— da otra cantidad positiva: \((b-a)(-c)>0\), es decir \(-bc+ac>0\), de donde \(ac>bc\). \(\blacksquare\)
Esta inversión no es una regla arbitraria de manipulación simbólica: es consecuencia directa de cómo se ordenan los reales negativos entre sí, y el mismo fenómeno —invertir un orden al multiplicar por un negativo— reaparecerá en formas distintas a lo largo de esta sección.
Recordatorio. Multiplicar o dividir por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad. No es una convención: se demuestra a partir del orden de \(\mathbb{R}\).
§2. Desigualdades cuadráticas y polinómicas¶
Una desigualdad como \(x^2-x-6>0\) no se resuelve despejando \(x\) —una desigualdad cuadrática no admite el mismo despeje directo que una ecuación—, sino mediante un análisis de signos, que se apoya directamente en la factorización del §1.3.
El procedimiento parte de llevar la desigualdad a la forma \(P(x) \gtrless 0\), factorizar \(P(x)\) por completo, y ubicar sus raíces sobre la recta real: esas raíces dividen a \(\mathbb{R}\) en intervalos dentro de cada uno de los cuales \(P(x)\) tiene signo constante —porque un polinomio solo puede cambiar de signo al atravesar una raíz—. Basta entonces evaluar el signo de cada factor en un punto de prueba de cada intervalo, o razonar directamente sobre el signo de cada factor lineal, para determinar dónde \(P(x)\) es positivo y dónde es negativo.
Ejemplo. \(x^2-x-6>0\). Factorizando, según el §1.3: \((x-3)(x+2)>0\). Las raíces \(x=3\) y \(x=-2\) dividen la recta en tres intervalos: \((-\infty,-2)\), \((-2,3)\) y \((3,\infty)\). En el primero, ambos factores son negativos y el producto es positivo; en el segundo, los factores tienen signos opuestos y el producto es negativo; en el tercero, ambos son positivos y el producto vuelve a ser positivo. El conjunto solución es \((-\infty,-2)\cup(3,\infty)\), usando la notación de unión fijada en el §1.1.
Recordatorio. Las raíces de \(P(x)\) dividen la recta en intervalos de signo constante. Analizar el signo de cada factor en cada intervalo reemplaza al despeje directo, que aquí no existe.
§3. Desigualdades con valor absoluto¶
Estas desigualdades se resuelven traduciéndolas a desigualdades sin valor absoluto, apoyándose en la interpretación geométrica del §1.1: \(|x-a|\) es la distancia entre \(x\) y \(a\).
Para \(\epsilon>0\), la desigualdad \(|x-a|<\epsilon\) afirma que \(x\) dista de \(a\) en menos de \(\epsilon\), lo cual es exactamente la definición de entorno introducida en el §1.1:
es decir, \(x \in (a-\epsilon,\, a+\epsilon)\). La desigualdad opuesta, \(|x-a|>\epsilon\), afirma que \(x\) dista de \(a\) en más de \(\epsilon\), lo cual ocurre hacia ambos lados del punto \(a\) y produce, en cambio, una unión de dos rayos:
La diferencia estructural entre ambos casos —un intervalo acotado para "\(<\)", una unión no acotada para "\(>\)"— no es casual: es la misma diferencia entre estar cerca de un punto, una condición que solo puede cumplirse en una región limitada alrededor de él, y estar lejos, que se cumple en todo lo que quede afuera.
Ejemplo. \(|2x-3|\le5\). Equivale a \(-5\le2x-3\le5\), es decir \(-2\le2x\le8\), y dividiendo por \(2\) (positivo, sin invertir la desigualdad): \(-1\le x\le4\), o bien \(x\in[-1,4]\).
Recordatorio. \(|x-a|<\epsilon\) es un intervalo acotado centrado en \(a\) —el entorno del §1.1—; \(|x-a|>\epsilon\) es todo lo que queda afuera de él, una unión de dos rayos.
§4. Desigualdades racionales¶
Una desigualdad racional, como \(\dfrac{x-1}{x+2} \le 0\), se resuelve con el mismo análisis de signos del §2, aplicado ahora tanto al numerador como al denominador —nunca multiplicando ambos miembros por la expresión que contiene la variable, porque su signo es precisamente lo desconocido, y multiplicar por una cantidad de signo incierto invalida el argumento del §1—.
El procedimiento correcto lleva todo a un solo miembro, deja el otro en cero, factoriza numerador y denominador, y analiza el signo del cociente en cada intervalo determinado por todas las raíces involucradas —tanto las que anulan el numerador como las que anulan el denominador—. Estas últimas, por el §1.4, quedan siempre excluidas del conjunto solución, sea cual sea su signo, porque ni siquiera pertenecen al dominio de la expresión.
Ejemplo. \(\dfrac{x-1}{x+2}\le0\). Las raíces relevantes son \(x=1\) (numerador) y \(x=-2\) (denominador, excluido del dominio). Analizando signos en \((-\infty,-2)\), \((-2,1)\) y \((1,\infty)\): el cociente es positivo, negativo, positivo respectivamente. La desigualdad pide "\(\le0\)", de modo que se toma el intervalo donde es negativo, más el punto donde es exactamente cero —\(x=1\), que sí pertenece al dominio—, pero nunca \(x=-2\). El conjunto solución es \((-2,1]\).
Recordatorio. En una desigualdad racional, nunca se multiplica por la expresión con la variable: se analiza el signo del cociente. Las raíces del denominador se excluyen siempre, aunque la desigualdad sea "\(\le\)" o "\(\ge\)".
Con ecuaciones y desigualdades resueltas sobre la recta real, el capítulo se traslada al plano: la geometría analítica de la sección siguiente traduce estas mismas ideas algebraicas al lenguaje de puntos, distancias y curvas.