Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.6 — Resolución de Problemas con Ecuaciones¶
La dificultad de un problema de palabras rara vez está en el álgebra; está en la traducción que la precede.
Todo lo desarrollado en el §1.5 presuponía una ecuación ya planteada. En la práctica, sin embargo, la ecuación casi nunca llega dada: hay que construirla a partir de un problema descrito en lenguaje ordinario, y ese paso de traducción —del español al símbolo— suele ser más delicado que la resolución algebraica que le sigue. Esta sección no introduce técnicas algebraicas nuevas; organiza, en cambio, un método para plantear correctamente, y lo ilustra sobre los tipos de problema que aparecen con más frecuencia.
§1. Un método en cuatro pasos¶
Ningún algoritmo sustituye la comprensión del problema, pero un orden de trabajo reduce notablemente el margen de error. Conviene, en cada problema, distinguir con claridad cuatro momentos.
Identificar la incógnita. Antes de escribir una sola letra, hay que decidir con precisión qué representa: no "la variable" en abstracto, sino una cantidad concreta del problema, con sus unidades. Una elección ambigua de la incógnita suele ser la causa oculta de un planteo incorrecto más adelante.
Traducir las relaciones a ecuaciones. Cada frase del enunciado que vincula cantidades se convierte en una igualdad algebraica. Expresiones como "el doble de", "la suma de", "el 20% más que" tienen traducción literal y directa —\(2x\), \(x+y\), \(x+0{,}2x\)—, y conviene resistir la tentación de saltear este paso mental y escribir la ecuación de memoria: es, precisamente, donde se cuela la mayoría de los errores.
Resolver. Aquí, y solo aquí, entran las técnicas del §1.5.
Verificar en el contexto del problema, no solo en la ecuación. Una solución puede ser algebraicamente correcta y, aun así, no tener sentido en el problema original —un tiempo negativo, un número de personas no entero, una longitud mayor que el total disponible—. Esta verificación es distinta, y adicional, a la verificación de soluciones extrañas del §1.5: allí se preguntaba si la solución satisface la ecuación; aquí se pregunta si la ecuación, ya resuelta, sigue describiendo el problema real.
Recordatorio. Identificar, traducir, resolver, verificar en contexto. La mayoría de los errores ocurre en el segundo paso, no en el tercero.
§2. Problemas de mezcla y de porcentaje¶
Estos problemas combinan cantidades de distinta composición para obtener una cantidad final con una composición intermedia, y su ecuación característica iguala el total de un componente antes y después de mezclar.
Ejemplo. Se dispone de una solución al \(10\%\) de ácido y otra al \(30\%\). ¿Cuántos litros de la segunda deben añadirse a \(5\) litros de la primera para obtener una mezcla al \(18\%\)? Sea \(x\) el número de litros de la solución al \(30\%\). La cantidad de ácido puro no cambia al mezclar, solo se redistribuye, de modo que la ecuación iguala el ácido aportado por cada componente con el ácido total en la mezcla final:
Resolviendo: \(0{,}5+0{,}3x = 0{,}9+0{,}18x\), de donde \(0{,}12x=0{,}4\) y \(x = 10/3 = 3\frac{1}{3}\text{ litros}\) (aproximadamente \(3{,}33\text{ litros}\)). Verificando en contexto: \(10/3>0\), una cantidad físicamente razonable de líquido; la solución es válida.
§3. Problemas de trabajo conjunto¶
Cuando dos agentes —personas, máquinas, canillas— realizan una misma tarea a ritmos distintos, conviene trabajar no con el tiempo que cada uno tarda, sino con la tasa de trabajo, el recíproco de ese tiempo: si algo tarda \(t\) horas en completarse, su tasa es \(1/t\) de la tarea por hora. Las tasas, a diferencia de los tiempos, se suman directamente cuando los agentes trabajan simultáneamente.
Ejemplo. Una canilla llena un tanque en \(4\) horas; otra, en \(6\). ¿Cuánto tardan ambas juntas? Sea \(t\) el tiempo buscado. La tasa combinada es la suma de las tasas individuales, y en tiempo \(t\) se completa exactamente una tarea:
Esta es, estructuralmente, una ecuación con expresiones racionales como las del §1.5 §4: multiplicando por el mínimo común denominador, \(12\), se obtiene \(3t+2t=12\), es decir \(5t=12\), y \(t=12/5=2{,}4\) horas. El resultado es menor que el tiempo de la canilla más rápida, como debe ser: trabajar juntas nunca puede tardar más que el más veloz de los dos por separado, y esa cota ofrece una verificación rápida de contexto, sin necesidad de rehacer la cuenta.
Recordatorio. En problemas de trabajo conjunto se suman tasas (\(1/t\)), no tiempos. El resultado siempre debe ser menor que el tiempo del agente más rápido; si no lo es, hay un error de planteo.
§4. Problemas de movimiento¶
Estos problemas se apoyan en la relación \(\text{distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo}\), y su dificultad habitual no es algebraica sino en organizar correctamente los datos —conviene, casi siempre, armar una tabla con una fila por cada tramo o cada móvil, y columnas para velocidad, tiempo y distancia, dejando que la tabla misma sugiera la ecuación.
Ejemplo. Dos ciclistas parten del mismo punto en direcciones opuestas; uno a \(15\text{ km/h}\), el otro a \(20\text{ km/h}\). ¿Cuánto tiempo tardan en estar a \(70\text{ km}\) de distancia? Sea \(t\) el tiempo en horas. Como se alejan en direcciones opuestas, la distancia entre ambos es la suma de las distancias recorridas:
Dos horas: un valor positivo y razonable, que verifica el problema.
§5. Problemas de geometría¶
Aquí la relación entre las cantidades no se traduce del lenguaje ordinario sino de una fórmula geométrica conocida —área, perímetro, volumen—, y con frecuencia produce, tras plantear la ecuación, alguna de las formas ya resueltas en el §1.5: en particular, es habitual que un problema de área desemboque en una ecuación cuadrática, con dos soluciones algebraicas de las cuales solo una tiene sentido geométrico.
Ejemplo. Un rectángulo tiene \(4\text{ cm}\) más de largo que de ancho, y su área es \(96\text{ cm}^2\). Sea \(x\) el ancho; el largo es \(x+4\), y
por factorización, según el §1.3. Las soluciones algebraicas son \(x=8\) y \(x=-12\). Aquí es donde la verificación de contexto del §1 resulta decisiva: un ancho no puede ser negativo, de modo que \(x=-12\) se descarta no por ser algebraicamente incorrecta —satisface la ecuación perfectamente—, sino por no describir un rectángulo real. La respuesta es ancho \(8\ \text{cm}\), largo \(12\ \text{cm}\).
Recordatorio. Una ecuación cuadrática que modela un problema geométrico suele tener una solución espuria desde el punto de vista del contexto, aunque sea perfectamente válida desde el álgebra. Descartarla es tan parte de "resolver el problema" como encontrarla.
Con el método de planteo ya establecido y ejercitado sobre los casos más frecuentes, el capítulo avanza hacia una generalización natural de la ecuación: la desigualdad, donde en lugar de un valor exacto se busca un rango de valores posibles.