Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.1 — Los Números Reales¶
Toda ciencia exacta comienza por nombrar aquello de lo que va a hablar.
Todo edificio matemático se erige sobre un conjunto de objetos primitivos y las reglas que gobiernan su comportamiento. En el caso del análisis y del álgebra que se desarrollarán en este libro, ese objeto primitivo es el número real, y el conjunto de todos los números reales se denota \(\mathbb{R}\).
Esta sección tiene un único propósito: fijar, de una vez y con precisión suficiente para no tener que revisitarla, de qué piezas está hecho \(\mathbb{R}\) y qué leyes rigen las operaciones que sobre él se definen. Ese conjunto se construye por capas, cada una más rica que la anterior, y sobre él viven una suma, un producto y una noción de distancia.
§1. Los números naturales¶
La capa más elemental es la de los números naturales, el conjunto que se usa para contar. Se denota \(\mathbb{N}\), y por extensión —es decir, listando sus elementos entre llaves, separados por comas—
Los puntos suspensivos no son un adorno tipográfico sino un símbolo con significado preciso: indican que el patrón continúa indefinidamente, esto es, que \(\mathbb{N}\) es infinito. El signo \(=\) que separa \(\mathbb{N}\) del listado no afirma una igualdad numérica, sino una identidad de conjuntos: el conjunto llamado \(\mathbb{N}\) es, por definición, exactamente ese conjunto.
Recordatorio. \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\) — los números con que se cuenta. Las llaves \(\{\ \}\) delimitan un conjunto; los puntos suspensivos, su infinitud.
Nota. Esta es la convención habitual en análisis y álgebra elemental. En otras áreas —lógica, informática— suele incluirse el cero, y se escribe entonces \(\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\}\) para distinguir ambos conjuntos. Aquí se usará siempre \(\mathbb{N}\) sin el cero.
§2. Los números enteros¶
Si a los naturales se les agrega el cero y el opuesto de cada natural, se obtiene el conjunto de los números enteros, denotado \(\mathbb{Z}\) —la letra proviene del alemán Zahlen, "números"—. Por extensión,
y, de manera más estructural,
donde \(\mathbb{Z}^+\) denota los enteros positivos —que coinciden exactamente con \(\mathbb{N}\)— y \(\mathbb{Z}^-\) los enteros negativos. El símbolo \(\cup\) es el operador de unión de conjuntos: un elemento pertenece a \(A \cup B\) si y solo si pertenece a \(A\), o a \(B\), o a ambos. La expresión \(\{0\}\) denota el conjunto unitario cuyo único elemento es el cero; se distingue del número \(0\) porque, como conjunto, \(\{0\}\) tiene un elemento, mientras que \(0\) es ese elemento.
Recordatorio. \(\mathbb{Z}\) agrega a \(\mathbb{N}\) el cero y los negativos. \(\cup\) reúne; \(\{0\}\) es la caja que contiene al cero, no el cero mismo.
§3. Los números racionales¶
Un número racional es, por definición, todo número que puede escribirse como razón —cociente— de dos enteros. Se denota \(\mathbb{Q}\), inicial de quotient, y se define por comprensión:
A diferencia de la notación por extensión, la notación por comprensión no lista los elementos sino que los caracteriza mediante una propiedad. La barra vertical \(\mid\) se lee "tal que" e introduce la condición que un objeto debe cumplir para pertenecer al conjunto. El símbolo \(\in\) denota pertenencia —"\(m \in \mathbb{Z}\)" se lee "\(m\) pertenece a \(\mathbb{Z}\)"— y \(\neq\) es la negación de la igualdad.
La condición \(n \neq 0\) no es un tecnicismo prescindible: excluye la división por cero, que no está definida en ningún sistema numérico consistente.
Recordatorio. Racional = cociente de enteros, \(m/n\), con \(n \neq 0\). El símbolo \(\mid\) se lee "tal que"; el símbolo \(\in\), "pertenece a".
§4. Los números irracionales¶
Aquí conviene detenerse un instante en el orden de exposición. Hasta ahora \(\mathbb{R}\) se ha usado únicamente en sentido intuitivo, como la recta numérica completa; su definición formal como conjunto llega recién en el próximo apartado, y esa definición se apoyará a su vez en \(\mathbb{I}\). No hay en esto una circularidad real, sino una elección de orden: los números irracionales se caracterizan primero de manera intrínseca —por una propiedad de su expansión decimal, que no requiere haber definido \(\mathbb{R}\)— y solo después se los describe también como un subconjunto de \(\mathbb{R}\), una vez que \(\mathbb{R}\) mismo quede fijado.
Dicho esto: un número irracional es todo número real que no admite representación como cociente de enteros, o equivalentemente, cuya expansión decimal no es finita ni periódica. El conjunto de los números irracionales se denota \(\mathbb{I}\) (o, alternativamente, \(\mathbb{Q}^c\), el complemento de \(\mathbb{Q}\)). Una vez disponible \(\mathbb{R}\), esta caracterización admite la formulación equivalente
El símbolo \(\notin\) es la negación de \(\in\). El símbolo \(\setminus\) (equivalentemente \(-\), cuando el contexto de conjuntos es claro) denota diferencia de conjuntos: \(A \setminus B\) son los elementos de \(A\) que no pertenecen a \(B\).
Recordatorio. Irracional = no expresable como cociente de enteros; decimal infinito y no periódico. \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) — "todo lo real que no es racional".
La existencia de números irracionales no es evidente por sí sola; conviene exhibir uno. El ejemplo clásico, y la primera demostración propiamente dicha de este libro, es que \(\sqrt{2}\) no es racional.
Proposición. \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
Demostración. Se procede por contradicción: se supone lo contrario de lo que se quiere probar, y se llega a un absurdo. Supóngase entonces que \(\sqrt{2}\) es racional. Existen, por tanto, enteros positivos \(m\) y \(n\) sin factores comunes —es decir, la fracción \(m/n\) ya está reducida a su mínima expresión— tales que
De esta última igualdad se sigue que \(m^2\) es par. Y si \(m^2\) es par, \(m\) mismo debe serlo —el cuadrado de un impar es siempre impar—, de modo que \(m = 2k\) para algún entero \(k\). Sustituyendo,
por lo que \(n^2\) también es par, y en consecuencia \(n\) también lo es. Pero esto contradice la suposición inicial: \(m\) y \(n\) no podían tener factores comunes, y sin embargo ambos resultan divisibles por \(2\). La contradicción proviene únicamente de haber supuesto que \(\sqrt{2}\) era racional; luego esa suposición es falsa, y \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\). \(\blacksquare\)
Esta demostración ilustra, además del resultado en sí, el método de reducción al absurdo, que reaparecerá con frecuencia en lo que resta del libro.
§5. Los números reales¶
El sistema de los números reales es la unión disjunta de los racionales y los irracionales:
"Disjunta" significa que \(\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset\): ningún número es simultáneamente racional e irracional. El símbolo \(\cap\) denota intersección —los elementos comunes a dos conjuntos— y \(\emptyset\) denota el conjunto vacío, el único conjunto sin elementos. Dos conjuntos cuya intersección es vacía se llaman disjuntos.
De este modo, \(\mathbb{R}\) queda construido como la torre
con \(\mathbb{I}\) ocupando el complemento de \(\mathbb{Q}\) dentro de \(\mathbb{R}\).
Recordatorio. \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\), unión disjunta (\(\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset\)). La torre completa: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
Queda pendiente, sin embargo, la pregunta más importante: ¿por qué hace falta \(\mathbb{I}\) en absoluto? ¿Qué le falta exactamente a \(\mathbb{Q}\)? La respuesta —la propiedad que distingue estructuralmente a \(\mathbb{R}\) de \(\mathbb{Q}\)— se desarrolla en el §9.
§6. Las propiedades algebraicas de \(\mathbb{R}\)¶
Sobre \(\mathbb{R}\) están definidas dos operaciones, la suma y el producto, que satisfacen un conjunto de propiedades tomadas como axiomas, y de las cuales se deriva, en última instancia, toda el álgebra elemental.
La suma y el producto son ambos conmutativos:
El orden en que se presentan los sumandos, o los factores, no altera el resultado.
Ambas operaciones son también asociativas:
lo que permite escribir sumas y productos de tres o más términos sin especificar el orden de agrupación.
La operación que vincula suma y producto es la distributividad:
Multiplicar una suma por un número equivale a multiplicar cada sumando por separado y luego sumar los productos.
Cada operación tiene un elemento neutro. El cero es neutro para la suma: \(a + 0 = a\). Todo real \(a\) posee además un inverso aditivo, denotado \(-a\), tal que \(a + (-a) = 0\); con él se define la resta, \(a - b := a + (-b)\). El uno es neutro para el producto: \(a \cdot 1 = a\). Todo real \(a \neq 0\) posee un inverso multiplicativo, denotado \(1/a\), tal que \(a \cdot (1/a) = 1\); con él se define la división, \(a \div b := a \cdot (1/b)\), siempre que \(b \neq 0\).
Recordatorio. Cuatro leyes rigen \(+\) y \(\times\): conmutativa, asociativa, distributiva, y la existencia de neutros e inversos. Todo lo demás en álgebra se deriva de estas cuatro.
De los signos. De los axiomas anteriores se desprenden, por demostración directa, las propiedades de los signos:
Cada una es consecuencia lógica de la existencia y unicidad del inverso aditivo junto con la distributividad; ninguna es un hecho independiente que deba memorizarse por separado.
De las fracciones. Las operaciones con fracciones se derivan de la misma base axiomática:
Cuando dos fracciones comparten denominador, su suma se calcula sumando los numeradores:
Cuando los denominadores difieren, es necesario llevarlas primero a un denominador común —típicamente el mínimo común denominador, obtenido factorizando cada denominador en primos y tomando el producto de todos los factores presentes elevados a su mayor exponente— antes de sumar:
Una fracción admite cancelar factores comunes entre numerador y denominador, \(\dfrac{ac}{bc} = \dfrac{a}{b}\), y dos fracciones son iguales exactamente cuando sus productos cruzados coinciden: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff ad = bc\).
§7. Conjuntos e intervalos¶
Ya se introdujeron \(\cup\), \(\cap\), \(\emptyset\) y \(\setminus\) al construir \(\mathbb{R}\); conviene fijar aquí sus definiciones generales. Dados dos conjuntos \(S\) y \(T\),
la unión reúne los elementos que están en al menos uno de los dos; la intersección, los comunes a ambos. Cuando \(S \cap T = \emptyset\), se dice que \(S\) y \(T\) son disjuntos.
Un caso particular y recurrente de subconjunto de \(\mathbb{R}\) es el intervalo: el conjunto de todos los reales comprendidos entre dos extremos \(a\) y \(b\). La notación distingue, mediante paréntesis y corchetes, si los extremos están o no incluidos.
| Notación | Conjunto | Extremos |
|---|---|---|
| \((a,b)\) | \(\{x \mid a < x < b\}\) | ambos excluidos |
| \([a,b]\) | \(\{x \mid a \le x \le b\}\) | ambos incluidos |
| \([a,b)\) | \(\{x \mid a \le x < b\}\) | uno y otro |
| \((a,b]\) | \(\{x \mid a < x \le b\}\) | uno y otro |
Cuando uno de los extremos es infinito, el intervalo se extiende indefinidamente en esa dirección, y el símbolo \(\infty\) siempre se escribe con paréntesis —nunca con corchete—, porque el infinito no es un número real y por lo tanto no puede "incluirse":
El caso extremo, \((-\infty,\infty)\), es simplemente \(\mathbb{R}\) en su totalidad.
Recordatorio. Corchete \([\,\) incluye; paréntesis \((\,\) excluye. El infinito jamás lleva corchete: no es un número que pueda "incluirse".
§8. Valor absoluto y distancia¶
El valor absoluto de un real \(a\), denotado \(|a|\), mide la distancia entre \(a\) y el origen en la recta real, con independencia de su signo. Se define por casos:
Si \(a\) ya es no negativo, su valor absoluto es él mismo; si es negativo, es su opuesto —que en ese caso resulta positivo—. En ambas situaciones el resultado es no negativo, como corresponde a una distancia.
De esta definición se siguen cuatro propiedades:
la simetría refleja que un número y su opuesto equidistan del origen; las demás, que el valor absoluto respeta producto, cociente y potencia.
Hay una quinta propiedad que merece mención aparte, no por completar la lista sino porque el resto del libro se apoya en ella una y otra vez: la desigualdad triangular,
El valor absoluto de una suma nunca excede la suma de los valores absolutos —puede ser menor, si \(a\) y \(b\) tienen signos opuestos y se cancelan parcialmente, o igual, si tienen el mismo signo—. Esta desigualdad, aparentemente modesta, es la herramienta central para acotar sumas y diferencias, y reaparecerá al definir límite, continuidad y convergencia.
Estas nociones se generalizan de inmediato a la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta real. Dados \(a, b \in \mathbb{R}\), se define
Por la propiedad de simetría del valor absoluto se sigue de inmediato que \(d(a,b) = d(b,a)\): la distancia no depende del orden en que se listan los puntos, tal como intuitivamente se espera de una distancia.
Una última observación, breve pero de las que conviene guardar: la desigualdad \(|x-a| < \epsilon\), para un real \(\epsilon > 0\), no es más que otra forma de escribir que \(x\) dista de \(a\) en menos de \(\epsilon\); geométricamente, describe el intervalo abierto centrado en \(a\),
llamado entorno (o vecindad) de \(a\) de radio \(\epsilon\). Esta traducción entre una desigualdad de valor absoluto y un intervalo geométrico parece un detalle menor aquí, pero es, en rigor, el lenguaje con el que más adelante se definirá qué significa que un punto se acerque a otro sin límite.
Recordatorio. \(|a|\) es siempre \(\ge 0\): la distancia al origen. \(|a+b| \le |a|+|b|\): la desigualdad triangular, la propiedad más citada de todas. \(d(a,b) = |b-a| = |a-b|\): la distancia no distingue direcciones.
§9. Completitud de \(\mathbb{R}\): cotas, supremo y el axioma que la distingue de \(\mathbb{Q}\)¶
Quedó pendiente en el §5 una pregunta que no admite respuesta improvisada: ¿qué le falta exactamente a \(\mathbb{Q}\) para ser \(\mathbb{R}\)? La intuición geométrica dice que \(\mathbb{Q}\) está lleno de "agujeros" y que \(\mathbb{I}\) los tapa, pero esa intuición merece precisión, porque a primera vista \(\mathbb{Q}\) no parece tener agujero alguno: entre dos racionales cualesquiera, por cercanos que estén, siempre hay otro racional —de hecho, infinitos—. Esta propiedad se llama densidad, y es real, pero no es suficiente. El agujero de \(\mathbb{Q}\) no está en la cercanía entre sus puntos, sino en algo más sutil: ciertos conjuntos de racionales, acotados, no tienen un "techo" racional exacto.
Cotas y conjuntos acotados. Sea \(S \subseteq \mathbb{R}\) no vacío. Un número \(M \in \mathbb{R}\) es una cota superior de \(S\) si \(x \le M\) para todo \(x \in S\); si tal \(M\) existe, se dice que \(S\) está acotado superiormente. (Simétricamente, \(m\) es cota inferior si \(m \le x\) para todo \(x \in S\), y \(S\) está acotado inferiormente si tal \(m\) existe.) Nótese que una cota superior no tiene por qué pertenecer a \(S\), y que si \(S\) tiene una cota superior, tiene infinitas: cualquier número mayor que una cota superior es también cota superior.
Supremo. Entre todas las cotas superiores de \(S\), interesa la más ajustada: la menor de todas. Se llama supremo de \(S\), denotado \(\sup S\), a la cota superior de \(S\) que es menor o igual que cualquier otra cota superior de \(S\). Equivalentemente, \(s = \sup S\) cuando se cumplen dos condiciones a la vez: \(s\) es cota superior de \(S\), y para todo \(\epsilon > 0\) existe algún \(x \in S\) con \(x > s - \epsilon\) —es decir, ninguna cota menor que \(s\) alcanza a cubrir todo \(S\)—. Cuando \(\sup S \in S\), el supremo coincide con el máximo de \(S\); pero, como se verá, un conjunto puede tener supremo sin tener máximo. (La noción simétrica, la mayor de las cotas inferiores, se llama ínfimo, \(\inf S\).)
Con este vocabulario ya se puede formular con precisión la propiedad que separa a \(\mathbb{R}\) de \(\mathbb{Q}\):
Axioma del supremo (completitud de \(\mathbb{R}\)). Todo subconjunto no vacío de \(\mathbb{R}\) acotado superiormente posee un supremo en \(\mathbb{R}\).
Este enunciado se toma, precisamente, como axioma: no se demuestra a partir de las propiedades algebraicas del §6, sino que se postula como una propiedad adicional de \(\mathbb{R}\), tan fundamental como la conmutatividad o la asociatividad. Lo que sí puede demostrarse es que \(\mathbb{Q}\) no goza de la misma propiedad: existen subconjuntos de \(\mathbb{Q}\), no vacíos y acotados superiormente, sin supremo dentro de \(\mathbb{Q}\). Ese es, exactamente, el agujero.
Proposición. El conjunto \(S = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 0,\ x^2 < 2\}\) es no vacío y está acotado superiormente en \(\mathbb{Q}\), pero no posee supremo en \(\mathbb{Q}\).
Demostración. \(S\) es no vacío, pues \(1 \in S\); y está acotado superiormente, pues todo \(x \in S\) cumple \(x < 2\) (si \(x \ge 2\), entonces \(x^2 \ge 4 > 2\)). Para probar que \(S\) no tiene supremo racional, basta mostrar que ningún racional \(r>0\) puede ser la menor cota superior: en cada caso —\(r^2<2\), \(r^2=2\), \(r^2>2\)— se exhibe otro racional que desmiente esa posibilidad. El caso \(r^2=2\) ya está descartado: se demostró en el §4 que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\), de modo que ningún racional satisface \(r^2=2\). Quedan dos casos.
Si \(r^2 < 2\) (\(r\) candidato interior a \(S\)). Se construye un racional ligeramente mayor que sigue en \(S\), lo que impide que \(r\) sea cota superior de \(S\). Sea
que es racional y positivo, pues \(2-r^2>0\). Se verifica que \(r+h \in S\): en efecto, como \(0 < h < 1\) se tiene \(h^2 < h\), y entonces
Luego \(r+h\) es racional, positivo y satisface \((r+h)^2<2\), es decir \(r+h \in S\), y \(r+h>r\). Ningún racional con \(r^2<2\) puede entonces ser cota superior de \(S\).
Si \(r^2 > 2\) (\(r\) candidato a cota superior, pero no la menor). Se construye una cota superior racional estrictamente menor que \(r\). Sea
que es racional y positivo. Un cálculo directo da
de modo que \((r'')^2 > 2\), y además \(r'' < r\) —porque restar \((r^2-2)/(2r)\), cantidad positiva, de \(r\) da un número menor—. Como \((r'')^2>2\), el mismo argumento de acotación usado para \(S\) muestra que \(r''\) también es cota superior de \(S\) (todo \(x\in S\) cumple \(x^2<2<(r'')^2\), y siendo ambos positivos, \(x<r''\)). Así, \(r''\) es una cota superior estrictamente menor que \(r\): ningún racional con \(r^2>2\) puede ser la menor cota superior.
Los tres casos agotan las posibilidades para un racional positivo \(r\), y en ninguno de ellos \(r\) puede ser el supremo de \(S\) dentro de \(\mathbb{Q}\). Por lo tanto, \(S\) no tiene supremo racional. \(\blacksquare\)
En \(\mathbb{R}\), en cambio, el axioma del supremo garantiza que \(\sup S\) existe; y no es difícil convencerse —aunque la demostración formal excede lo que corresponde aquí— de que ese supremo es precisamente \(\sqrt{2}\). El "agujero" que \(\mathbb{Q}\) tenía en ese punto exacto de la recta queda tapado por un irracional, y esa es, en el fondo, la razón estructural por la cual \(\mathbb{I}\) es indispensable: no meramente para completar una lista de números que "faltaban", sino para que todo conjunto acotado tenga, sin excepción, un techo exacto.
Recordatorio. Cota superior: algo que nadie en \(S\) supera. Supremo: la menor de las cotas superiores. Axioma del supremo: en \(\mathbb{R}\), todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo; en \(\mathbb{Q}\), no siempre —ahí está el agujero que \(\mathbb{I}\) viene a tapar.